תופעות מעבר

מתוך מעבדת מבוא בחשמל
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

לעיון בקבצים נא ללחוץ על התיקייה: תיקיית קבצים

1 שאלות הכנה

1.1 מעגל RC טורי

איור 1: מעגל RC טורי עם נגד 10KΩ וקבל 0.1μF
  1. מהו הזרם שיזרום במעגל המתואר באיור 1, לאחר סגירת המפסק Sw? (ברגע t=t0 בו נסגר המפסק יהיה על הקבל C מתח VC(0)=V0).
  2. חשבו ושרטטו את (i(t עבור הגדלים המופיעים באיור, כאשר V0=4V ,V=10V.
  3. מוסיפים נגד של 10KΩ במקביל לקבל C. מהו קבוע הזמן של המעגל? ומהו מתח הקבל במצב היציב?
  4. שרטט את תגובת התדר (אמפליטודה בלבד) של מתחי הקבל והנגד, ומצא מתוכן את קבוע הזמן של המעגל.
  5. הרכב בעזרת ORCAD את המעגל שבאיור 1 וחזור על כל הסעיפים הקודמים בעזרת סימולציית SPICE. בסעיפים א' ו-ג' יש לבצע מדידה מתוך שרטוט, סעיף ב' לשרטט את צורת הזרם, ובסעיף ד' יש להציג את תגובת האמפליטודה והפאזה.
  • הערה: מומלץ להשתמש ברכיב גנרי הנקרא "SBREAK" שמדמה מתג, יש לקחת בחשבון (אם צריך) כי התנגדותו הפנימית (ברירת מחדל) בזמן שהוא מוליך היא 1 אוהם.

תשובה

1.2 מעגל RL טורי

איור 2: מעגל RL טורי עם נגד 10KΩ ומשרן 10H
  1. מהו הזרם שיזרום במעגל שבאיור 2, לאחר סגירת המפסק Sw. ברגע t=t0 בו המפסק נסגר מתקיים: i(t0)=I0.
  2. חשב ושרטט (i(t עבור הערכים שבציור V=10V, I0=0A.
  3. שרטט את תגובת התדר (אמפליטודה בלבד) של מתחי הסליל והנגד, ומצא מתוכו את קבוע הזמן של המעגל.


1.3 מעגל RLC מקבילי

איור 3: מעגל RLC מקבילי עם נגד 10KΩ, קבל 10nF ומשרן 1H
  1. מהו המתח (V(t המתקבל ביציאת מסנן מעביר נמוכים המתואר באיור 3, לאחר סגירת המפסק Sw? ברגע t=t0 יש על הקבל C מתח V0 ובסליל זורם זרם I0.
  2. חשב את (V(t עבור הערכים הנקובים כאשר: I0=0, V0=5v ,V=10v.
  3. מצא את ערכו של R שייתן ריסון קריטי במעגל. שרטט את תגובת המעגל V(t) עבור ארבעת מצבי הריסון:
    • ריסון יתר.
    • ריסון קריטי.
    • תת-ריסון (תנודתי).
    • ריסון חסר הפסדים.
  4. נזין את המעגל באיור 3 ממקור מתח סינוסי. שרטט את התגובה לתדר V(f) (אמפליטודה בלבד) של המעגל עבור ארבעת מצבי הריסון, והסבר כיצד תחשב את קבועי המעגל מתוך ידיעת גרף תגובת התדר של המעגל.


1.4 מעגל RC טורי עם מקור סינוסי

איור 4: מעגל RC טורי בעל מקור AC עם נגד 10KΩ וקבל 0.1μF
  1. במעגל שבאיור 4, חשב את המתח (V(t על פני הקבל C, לאחר סגירת המפסק Sw ובהנחה שהקבל היה טעון למתח V0 כאשר נתון שמקור המתח הוא סינוסי VS(t)=Vmsin(ωt+θ).
  2. האם קבוע הזמן של תופעת המעבר משתנה ביחס למעגל שבאיור 1? נמק.
  3. מהי הפאזה של מתח הכניסה הדרושה כדי שתופעת המעבר תיעלם?


1.5 קביעת קבוע זמן

כיצד ניתן לקבוע את קבוע הזמן של מעגל מסדר ראשון מתוך גרף התגובה למדרגה כפי שהופיע על גבי המשקף תנודות?

1.6 שיטה לשליפת קבוע הזמן

במקום מפסק Sw ומקור מתח-ישר כפי שמופיע באיור 1 ובאיור 2 ניתן למדוד את תופעת המעבר בעזרת אות-כניסה בעל צורת גל-ריבועי.

הסבר מה היתרונות של שיטה זו ומה תדירות הגל-הריבועי שבה תמליץ להשתמש?

 

2 תשובות

2.1 תשובה למעגל RC טורי

2.1.1 הזרם לאחר סגירת המפסק

נפתור את מעגל ה-RC בשיטה הבאה:[1]

אנו יודעים שהזרם דרך הקבל מחושב על-פי הנוסחא:

משוואה 1: [math]I=C\frac{dV}{dt}\,[/math]

זרם זה הוא לא רק הזרם דרך הקבל אלא הזרם הכללי במעגל כיוון שזהו מעגל טורי ולכן הזרם דרך כל הרכיבים שווה.

בנוסף, אנו יודעים שהזרם במעגל גם יכול להיות מחושב עפ"י חוק אוהם:

משוואה 2: [math]I=\frac{V_R}{R}=\frac{V-V_C}{R}\,[/math]

נשווה בין משוואה 1 ומשוואה 2 ונקבל משוואה דיפרנציאלית:

[math]C\frac{dV}{dt}=\frac{V-V_C}{R}[/math]

נבודד אגפים, את המתחים לחוד ואת משתני הזמן לחוד:

[math]\frac{dV}{V-V_C}=\frac{dt}{RC}[/math]

נעשה אינטגרל לשני האגפים:

[math]\int \frac{dV}{V-V_C}=\int \frac{dt}{RC}[/math]

המשתנה היחיד במשוואה הנ"ל הוא המתח על הקבל VC בזמן שכל השאר קבועים, לכן ניתן קצת לסדר את המשוואה:

[math]\int \frac{dV}{V-V_C}=\frac{1}{RC}\int dt[/math]

נפתור ונקבל:

[math]-ln(V-V_C)+D=\frac{1}{RC}\cdot t[/math]

כאשר D הוא קבוע האינטגרציה (האות C לא מתאימה כאן כי היא שייכת לקבל). אין קבוע זמן לאינטגרל הימני כיוון שהוא כלול בתוך קבוע האינטגרציה D.

נכפול במינוס 1 כדי להיפטר מהמקדם של הלוגריתם:

[math]ln(V-V_C)-D=-\frac{t}{RC}[/math]

נגדיר את D בתור לוגריתם של סתם קבוע אחר שנקרא A:

[math]D=ln(A)[/math]

ולכן:

[math]ln(V-V_C)-D=ln(V-V_C)-ln(A)=ln\left(\frac{V-V_C}{A}\right)[/math]

כלומר נוצר השוויון:

[math]ln\left(\frac{V-V_C}{A}\right)=-\frac{t}{RC}[/math]

ניפטר מהלוגריתם הטבעי ע"י אקספוננט:

[math]e^{ln\left(\frac{V-V_C}{A}\right)}=e^{-\frac{t}{RC}}[/math]

נצמצם את הפונקציות ההופכיות:

[math]\frac{V-V_C}{A}=e^{-\frac{t}{RC}}[/math]

נכפול בקבוע A (נעביר אותו לצד השני):

[math]V-V_C=A\cdot e^{-\frac{t}{RC}}[/math]

ונשלוף את מתח הקבל בתלות בזמן:

משוואה 3: [math]V_C(t)=V-A\cdot e^{-\frac{t}{RC}}\,[/math]

נתון בשאלה שברגע t=t0 בו נסגר המפסק יהיה על הקבל C מתח VC(0)=V0

נציב בנוסחא ונקבל:

[math]V_C(0)=V_0=V-A\cdot e^{-\frac{0}{RC}}=V-A\cdot e^{-0}=V-A\cdot 1=V-A[/math]

כלומר:

[math]V_0=V-A[/math]

ולכן:

[math]A=V-V_0[/math]

נציב את A במשוואה 3 ונקבל:

[math]V_C(t)=V-\left(V-V_0\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}[/math]

נפתח את הסוגריים:

[math]V_C(t)=V-V\cdot e^{-\frac{t}{RC}}+V_0\cdot e^{-\frac{t}{RC}}[/math]

עכשיו צריך לחשב את הזרם דרך הקבל (מה שהתבקש בשאלה) ואת זה נעשה ע"י הצבת מתח הקבל VC במשוואה 1:

[math]I_C(t)=C\frac{d\left[V-V\cdot e^{-\frac{t}{RC}}+V_0\cdot e^{-\frac{t}{RC}}\right]}{dt}[/math]

נגזור ונקבל:

[math]I_C(t)=C\left[0-V\cdot\left(\frac{-1}{RC}\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}+V_0\cdot\left(\frac{-1}{RC}\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}\right][/math]

נסדר קצת את הסימנים במשוואה:

[math]I_C(t)=C\left[\left(\frac{V}{RC}\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}-\left(\frac{V_0}{RC}\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}\right][/math]

נצמצם את ה-C, נסדר את המשוואה, ונקבל את משוואת הזרם על הקבל:

משוואה 4: [math]I_C(t)=\frac{1}{R}(V-V_0)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}\,[/math]

2.1.2 הזרם עבור הגדלים באיור

איור 5: דעיכת זרם בעת טעינת קבל בהתאם למעגל באיור 1
איור 6: דעיכת זרם לוגריתמית בעת טעינת קבל בהתאם למעגל באיור 1

נתון:

  • מתח הקבל ההתחלתי הוא V0=4V
  • מתח מקור הכוח הוא V=10V

ניקח את משוואה 4 ונציב בה את קבוע הזמן טאו:

[math]\tau=RC[/math]

ונקבל:

[math]I_C(t)=\frac{V-V_0}{R}\,e^{-\frac{t}{\tau}}[/math]

נחשב 6 ערכים אופיינים של קבוע-הזמן (טאו) בין 0 ל-5:

כופל של קבוע-הזמן נוסחא עבור ic תוצאה עם פרמטרים זרם [μA]
0 [math]\frac{V-V_0}{R}\,e^{-\frac{0\cdot\tau}{\tau}}[/math] [math]\frac{V-V_0}{R}[/math] [math]\frac{10-4}{10000}=600\,\mu A[/math]
1 [math]\frac{V-V_0}{R}\,e^{-\frac{1\cdot\tau}{\tau}}[/math] [math]\frac{V-V_0}{R}\,e^{-1}[/math] [math]600\cdot36.8\%=220.7[/math]
2 [math]\frac{V-V_0}{R}\,e^{-\frac{2\cdot\tau}{\tau}}[/math] [math]\frac{V-V_0}{R}\,e^{-2}[/math] [math]600\cdot13.5\%=81.2[/math]
3 [math]\frac{V-V_0}{R}\,e^{-\frac{3\cdot\tau}{\tau}}[/math] [math]\frac{V-V_0}{R}\,e^{-3}[/math] [math]600\cdot5\%=29.9[/math]
4 [math]\frac{V-V_0}{R}\,e^{-\frac{4\cdot\tau}{\tau}}[/math] [math]\frac{V-V_0}{R}\,e^{-4}[/math] [math]600\cdot1.8\%=11.0[/math]
5 [math]\frac{V-V_0}{R}\,e^{-\frac{5\cdot\tau}{\tau}}[/math] [math]\frac{V-V_0}{R}\,e^{-5}[/math] [math]600\cdot0.7\%=4.0[/math]

באיור 5 רואים שרטוט של הגרף עם הערכים ב-6 נקודות המפתח.

אך גרף זה הוא גרף אקספוננציאלי, ויותר נוח לפעמים לראות גרפים ליניארים[1], לכן נעשה פעולת לוגריתם-טבעי לנוסחא:

[math]ln\left(i_c\right)=ln\left(\frac{V-V_0}{R}\,e^{-\frac{t}{\tau}}\right)[/math]

נפצל את הכפל של הלוג לשתי פעולות חיבור:

[math]ln\left(i_c\right)=ln\left(\frac{V-V_0}{R}\right)+ln\left(\,e^{-\frac{t}{\tau}}\right)[/math]

הפונקציות ההופכיות מבטלות אחת את השנייה ומקבלים:

[math]ln\left(i_c\right)=ln\left(\frac{V-V_0}{R}\right)-\frac{t}{\tau}[/math]

כלומר נקבל גרף ליניארי בו השיפוע מיוצג ע"י קבוע-הזמן, ובמידה והזמן t יהיה בקפיצות שלמות של טאו (t=n·τ), נקבל:

[math]ln\left(i_c\right)=ln\left(\frac{V-V_0}{R}\right)-n[/math]

כאשר n מייצג את הכופל של קבוע הזמן כפי שרואים באיור 6. כלומר כל פעם כשיש ירידה של 1 בציר Y כך יש תזוזה של קבוע-זמן שלם בציר X.

2.1.3 עם נגד במקביל

איור 7: מעגל RC טורי עם נגד במקביל לקבל, זהו אותו המעגל אשר באיור 1 רק עם תוספת של נגד זהה במקביל לקבל

לקחנו את המעגל אשר באיור 1 והוספנו לו נגד של 10KΩ במקביל לקבל כפי שרואים באיור 7.

לחישוב קבוע הזמן החדש של המעגל, נשתמש הפעם ב-KVL כדי למצוא את המתחים.

סכום המתחים במעגל הוא:

[math]V=v_{r1}+v_c[/math]

המתח על נגד R1 ניתן לחישוב על-פי חוק אוהם ולכן:

משוואה 5: [math]V=i_{r1}R+v_c\,[/math]

אנו יודעים שהזרם דרך נגד R1 שווה לסכום הזרמים על הקבל C ועל נגד R2:

[math]i_{r1}=i_c+i_{r2}[/math]

הזרם על הקבל הוא:

[math]i_c=C\frac{dv_c}{dt}[/math]

המתח על נגד R2 זהה למתח הקבל כיוון שהם במקביל ולכן הזרם דרך R2 הוא:

[math]i_{r2}=\frac{v_{r2}}{R_2}=\frac{v_c}{R_2}[/math]

נציב בחזרה במשוואת הזרם דרך נגד R1 ונקבל:

[math]i_{r1}=C\frac{dv_c}{dt}+\frac{v_c}{R_2}[/math]

ואת זרם הנגד R1 נציב בחזרה במשוואה 5 ונקבל:

[math]V=\left(C\frac{dv_c}{dt}+\frac{v_c}{R_2}\right)\cdot R+v_c[/math]

באיור 7 רואים ששני הנגדים זהים:

[math]R=R_1=R_2[/math]

נציב ונקבל:

[math]V=\left(C\frac{dv_c}{dt}+\frac{v_c}{R}\right)\cdot R+v_c[/math]

נפתח את הסוגריים:

[math]V=RC\frac{dv_c}{dt}+v_c+v_c=RC\frac{dv_c}{dt}+2v_c[/math]

נעביר 2vc אגף:

[math]V-2v_c=RC\frac{dv_c}{dt}[/math]

ונעשה הפרדת משתנים:

[math]\frac{dt}{RC}=\frac{dv_c}{V-2v_c}[/math]

נעשה אינטגרל, כאשר כל האותיות הגדולות הן קבועים ולכן ניתן להוציא אותם החוצה:

[math]\frac{1}{RC}\int dt=\int\frac{dv_c}{V-2v_c}[/math]

נפתור ונקבל:

[math]\frac{t}{RC}=-\frac{1}{2}ln(V-2v_c)+D[/math]

כאשר D הוא קבוע האינטגרציה. נכפול במינוס 2 כדי להיפטר מהמקדם של הלוגריתם-הטבעי:

[math]-\frac{2t}{RC}=ln(V-2v_c)-2D[/math]

נגדיר:

[math]2D=ln(A)[/math]

ונציב:

[math]-\frac{2t}{RC}=ln(V-2v_c)-ln(A)=ln\left(\frac{V-2v_c}{A}\right)[/math]

נפעיל אקספוננט כדי להיפטר מהלוגריתם:

[math]e^{-\frac{2t}{RC}}=e^{ln\left(\frac{V-2v_c}{A}\right)}[/math]

[math]e^{-\frac{2t}{RC}}=\frac{V-2v_c}{A}[/math]

נכפול ב-A:

[math]A\cdot e^{-\frac{2t}{RC}}=V-2v_c[/math]

נבודד את מתח הקבל vc:

[math]2v_c=V-A\cdot e^{-\frac{2t}{RC}}[/math]

ונחלק בשתיים כדי לקבל את מתח הקבל:

[math]v_c=\frac{1}{2}\left(V-A\cdot e^{-\frac{2t}{RC}}\right)[/math]

את A נמצא לפי תנאי ההתחלה, על הקבל היה מתח V0 בזמן t=0 ולכן:

[math]v_c(0)=V_0=\frac{1}{2}\left(V-A\cdot e^{-\frac{2\cdot0}{RC}}\right)[/math]

[math]V_0=\frac{1}{2}\left(V-A\cdot e^{-0}\right)=\frac{V-A}{2}[/math]

[math]2V_0=V-A[/math]

כלומר:

[math]A=V-2V_0[/math]

נציב בחזרה בנוסחת הקבל כדי לקבל את הנוסחא הסופית של מתח-הקבל:

[math]v_c=\frac{1}{2}\left(V-(V-2V_0)\cdot e^{-\frac{2t}{RC}}\right)[/math]

ועכשיו נוכל לענות על השאלה. קבוע-הזמן נמצא במעריך של האקספוננט:

[math]-\frac{2t}{RC}=\frac{t}{RC/2}[/math]

כלומר:

[math]\tau=\frac{RC}{2}[/math]

וקיבלנו שקבוע הזמן באיור 7 קטן פי 2 מאשר קבוע הזמן באיור 1.

ואילו החלק השני של השאלה דורש לדעת מהו מתח הקבל במצב היציב, כלומר בזמן t=∞ בו האקספוננט צריך להתאפס:

[math]v_c=\frac{1}{2}\left(V-(V-2V_0)\cdot e^{-\frac{2\cdot\infty}{RC}}\right)[/math]

[math]v_c=\frac{1}{2}\left(V-(V-2V_0)\cdot e^{-\infty}\right)[/math]

[math]v_c=\frac{1}{2}\left(V-(V-2V_0)\cdot 0\right)[/math]

[math]v_c=\frac{V}{2}[/math]

זוהי תוצאה הגיונית כיוון שבמצב היציב הזרם על הקבל הוא אפס, כלומר הקבל הוא נתק, ולכן ניתן לדמות שיש באיור 7 מעגל ללא קבל - רק עם שני נגדים זהים, ולכן יהיה לנו מחלק מתח של שני נגדים זהים אשר על כל אחד מהם יהיה חצי ממתח המקור V.


3 ספרות

[2][3]

  1. 1.0 1.1 P. Horowitz and W. Hill, The Art of Electronics, 3rd Ed., Cambridge University Press, New-York, 2015, SN:002446282, Ch. 1
  2. P.R. Clement and W.C. Johnson, Electrical Engineering Science, McGraw Hill, 1960, SN:001331452
  3. C.A. Desoer and E.S. Kuh, Basic Circuit Theory, McGraw Hill, 1969, SN:001026415