תופעות מעבר: הבדלים בין גרסאות

מתוך מעבדת מבוא בחשמל
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(העברת מטרות הניסוי לדף מהלך הניסוי והוספת שאלות ההכנה)
(פיתוח נוסחת זרם הקבל)
שורה 5: שורה 5:
 
[[File:R10kC01u.svg|thumb|left|upright=1.5|<figure id="fig:RC"><caption>מעגל RC טורי</caption> עם נגד 10K&Omega; וקבל 0.1&mu;F</figure>]]
 
[[File:R10kC01u.svg|thumb|left|upright=1.5|<figure id="fig:RC"><caption>מעגל RC טורי</caption> עם נגד 10K&Omega; וקבל 0.1&mu;F</figure>]]
 
# מהו הזרם שיזרום במעגל המתואר ב<xr id="fig:RC"/>, לאחר סגירת המפסק Sw? (ברגע  t=t<sub>0</sub> בו נסגר המפסק יהיה על הקבל C מתח V<sub>C</sub>(0)=V<sub>0</sub>).
 
# מהו הזרם שיזרום במעגל המתואר ב<xr id="fig:RC"/>, לאחר סגירת המפסק Sw? (ברגע  t=t<sub>0</sub> בו נסגר המפסק יהיה על הקבל C מתח V<sub>C</sub>(0)=V<sub>0</sub>).
# חשב ושרטט את (i(t עבור הגדלים המופיעים באיור, כאשר V<sub>0</sub>=4V ,V=10V.
+
# חשבו ושרטטו את (i(t עבור הגדלים המופיעים באיור, כאשר V<sub>0</sub>=4V ,V=10V.
 
# מוסיפים נגד של 10K&Omega; במקביל לקבל C. מהו קבוע הזמן של המעגל? ומהו מתח הקבל במצב היציב?
 
# מוסיפים נגד של 10K&Omega; במקביל לקבל C. מהו קבוע הזמן של המעגל? ומהו מתח הקבל במצב היציב?
 
# שרטט את תגובת התדר (אמפליטודה בלבד) של מתחי הקבל והנגד, ומצא מתוכן את קבוע הזמן של המעגל.
 
# שרטט את תגובת התדר (אמפליטודה בלבד) של מתחי הקבל והנגד, ומצא מתוכן את קבוע הזמן של המעגל.
 
# הרכב בעזרת ORCAD את המעגל שב<xr id="fig:RC"/> וחזור על כל הסעיפים הקודמים בעזרת סימולציית SPICE. בסעיפים א' ו-ג' יש לבצע מדידה מתוך שרטוט, סעיף ב' לשרטט את צורת הזרם, ובסעיף ד' יש להציג את תגובת האמפליטודה והפאזה.
 
# הרכב בעזרת ORCAD את המעגל שב<xr id="fig:RC"/> וחזור על כל הסעיפים הקודמים בעזרת סימולציית SPICE. בסעיפים א' ו-ג' יש לבצע מדידה מתוך שרטוט, סעיף ב' לשרטט את צורת הזרם, ובסעיף ד' יש להציג את תגובת האמפליטודה והפאזה.
 
* <u>הערה</u>: מומלץ להשתמש ברכיב גנרי הנקרא "SBREAK" שמדמה מתג, יש לקחת בחשבון (אם צריך) כי התנגדותו הפנימית (ברירת מחדל) בזמן שהוא מוליך היא 1 אוהם.
 
* <u>הערה</u>: מומלץ להשתמש ברכיב גנרי הנקרא "SBREAK" שמדמה מתג, יש לקחת בחשבון (אם צריך) כי התנגדותו הפנימית (ברירת מחדל) בזמן שהוא מוליך היא 1 אוהם.
<br clear="all"/>
+
 
 +
[[#תשובה למעגל RC טורי|תשובה]]
 +
{{gap}}
  
 
== מעגל RL טורי ==
 
== מעגל RL טורי ==
שורה 17: שורה 19:
 
# חשב ושרטט (i(t עבור הערכים שבציור V=10V, I<sub>0</sub>=0A.
 
# חשב ושרטט (i(t עבור הערכים שבציור V=10V, I<sub>0</sub>=0A.
 
# שרטט את תגובת התדר (אמפליטודה בלבד) של מתחי הסליל והנגד, ומצא מתוכו את קבוע הזמן של המעגל.
 
# שרטט את תגובת התדר (אמפליטודה בלבד) של מתחי הסליל והנגד, ומצא מתוכו את קבוע הזמן של המעגל.
<br clear="all"/>
+
{{gap}}
  
 
== מעגל RLC מקבילי ==
 
== מעגל RLC מקבילי ==
שורה 29: שורה 31:
 
#* ריסון חסר הפסדים.
 
#* ריסון חסר הפסדים.
 
# נזין את המעגל ב<xr id="fig:RLC"/> ממקור מתח סינוסי. שרטט את התגובה לתדר <span dir="ltr">V(f)</span> (אמפליטודה בלבד) של המעגל עבור ארבעת מצבי הריסון, והסבר כיצד תחשב את קבועי המעגל מתוך ידיעת גרף תגובת התדר של המעגל.
 
# נזין את המעגל ב<xr id="fig:RLC"/> ממקור מתח סינוסי. שרטט את התגובה לתדר <span dir="ltr">V(f)</span> (אמפליטודה בלבד) של המעגל עבור ארבעת מצבי הריסון, והסבר כיצד תחשב את קבועי המעגל מתוך ידיעת גרף תגובת התדר של המעגל.
<br clear="all"/>
+
{{gap}}
  
 
== מעגל RC טורי עם מקור סינוסי ==
 
== מעגל RC טורי עם מקור סינוסי ==
שורה 36: שורה 38:
 
# האם קבוע הזמן של תופעת המעבר משתנה ביחס למעגל שב<xr id="fig:RC"/>? נמק.
 
# האם קבוע הזמן של תופעת המעבר משתנה ביחס למעגל שב<xr id="fig:RC"/>? נמק.
 
# מהי הפאזה של מתח הכניסה הדרושה כדי שתופעת המעבר תיעלם?
 
# מהי הפאזה של מתח הכניסה הדרושה כדי שתופעת המעבר תיעלם?
<br clear="all"/>
+
{{gap}}
  
 
== קביעת קבוע זמן ==
 
== קביעת קבוע זמן ==
שורה 45: שורה 47:
  
 
הסבר מה היתרונות של שיטה זו ומה תדירות הגל-הריבועי שבה תמליץ להשתמש?
 
הסבר מה היתרונות של שיטה זו ומה תדירות הגל-הריבועי שבה תמליץ להשתמש?
 +
 +
= תשובות =
 +
== תשובה ל[[#מעגל RC טורי|מעגל RC טורי]] ==
 +
נפתור את מעגל ה-RC בשיטה הבאה:<ref name="horowitz"/>
 +
 +
אנו יודעים שהזרם דרך הקבל מחושב על-פי הנוסחא:
 +
 +
<equation id="eqn:ic"><caption><math>I=C\frac{dV}{dt}\,</math></caption></equation>
 +
 +
זרם זה הוא לא רק הזרם דרך הקבל אלא הזרם הכללי במעגל כיוון שזהו מעגל טורי ולכן הזרם דרך כל הרכיבים שווה.
 +
 +
בנוסף, אנו יודעים שהזרם במעגל גם יכול להיות מחושב עפ"י [[wikipedia:he:חוק אוהם|חוק אוהם]]:
 +
 +
<equation id="eqn:ir"><caption><math>I=\frac{V_R}{R}=\frac{V-V_C}{R}\,</math></caption></equation>
 +
 +
נשווה בין <xr id="eqn:ic"/> ו<xr id="eqn:ir"/> ונקבל משוואה דיפרנציאלית:
 +
 +
<math>C\frac{dV}{dt}=\frac{V-V_C}{R}</math>
 +
 +
נבודד אגפים, את המתחים לחוד ואת משתני הזמן לחוד:
 +
 +
<math>\frac{dV}{V-V_C}=\frac{dt}{RC}</math>
 +
 +
נעשה אינטגרל לשני האגפים:
 +
 +
<math>\int \frac{dV}{V-V_C}=\int \frac{dt}{RC}</math>
 +
 +
המשתנה היחיד במשוואה הנ"ל הוא המתח על הקבל V<sub>C</sub> בזמן שכל השאר קבועים, לכן ניתן קצת לסדר את המשוואה:
 +
 +
<math>\int \frac{dV}{V-V_C}=\frac{1}{RC}\int dt</math>
 +
 +
נפתור ונקבל:
 +
 +
<math>-ln(V-V_C)+D=\frac{1}{RC}\cdot t</math>
 +
 +
כאשר D הוא קבוע האינטגרציה (האות C לא מתאימה כאן כי היא שייכת לקבל). אין קבוע זמן לאינטגרל הימני כיוון שהוא כלול בתוך קבוע האינטגרציה D.
 +
 +
נכפול במינוס 1 כדי להיפטר מהמקדם של הלוגריתם:
 +
 +
<math>ln(V-V_C)-D=-\frac{t}{RC}</math>
 +
 +
נגדיר את D בתור לוגריתם של סתם קבוע אחר שנקרא A:
 +
 +
<math>D=ln(A)</math>
 +
 +
ולכן:
 +
 +
<math>ln(V-V_C)-D=ln(V-V_C)-ln(A)=ln\left(\frac{V-V_C}{A}\right)</math>
 +
 +
כלומר נוצר השוויון:
 +
 +
<math>ln\left(\frac{V-V_C}{A}\right)=-\frac{t}{RC}</math>
 +
 +
ניפטר מהלוגריתם הטבעי ע"י אקספוננט:
 +
 +
<math>e^{ln\left(\frac{V-V_C}{A}\right)}=e^{-\frac{t}{RC}}</math>
 +
 +
נצמצם את הפונקציות ההופכיות:
 +
 +
<math>\frac{V-V_C}{A}=e^{-\frac{t}{RC}}</math>
 +
 +
נכפול בקבוע A (נעביר אותו לצד השני):
 +
 +
<math>V-V_C=A\cdot e^{-\frac{t}{RC}}</math>
 +
 +
ונשלוף את מתח הקבל בתלות בזמן:
 +
 +
<equation id="eqn:vc"><caption><math>V_C(t)=V-A\cdot e^{-\frac{t}{RC}}\,</math></caption></equation>
 +
 +
נתון בשאלה שברגע t=t<sub>0</sub> בו נסגר המפסק יהיה על הקבל C מתח V<sub>C</sub>(0)=V<sub>0</sub>
 +
 +
נציב בנוסחא ונקבל:
 +
 +
<math>V_C(0)=V_0=V-A\cdot e^{-\frac{0}{RC}}=V-A\cdot e^{-0}=V-A\cdot 1=V-A</math>
 +
 +
כלומר:
 +
 +
<math>V_0=V-A</math>
 +
 +
ולכן:
 +
 +
<math>A=V-V_0</math>
 +
 +
נציב את A ב<xr id="eqn:vc"/> ונקבל:
 +
 +
<math>V_C(t)=V-\left(V-V_0\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}</math>
 +
 +
נפתח את הסוגריים:
 +
 +
<math>V_C(t)=V-V\cdot e^{-\frac{t}{RC}}+V_0\cdot e^{-\frac{t}{RC}}</math>
 +
 +
עכשיו צריך לחשב את הזרם דרך הקבל (מה שהתבקש בשאלה) ואת זה נעשה ע"י הצבת מתח הקבל V<sub>C</sub> ב<xr id="eqn:ic"/>:
 +
 +
<math>I_C(t)=C\frac{d\left[V-V\cdot e^{-\frac{t}{RC}}+V_0\cdot e^{-\frac{t}{RC}}\right]}{dt}</math>
 +
 +
נגזור ונקבל:
 +
 +
<math>I_C(t)=C\left[0-V\cdot\left(\frac{-1}{RC}\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}+V_0\cdot\left(\frac{-1}{RC}\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}\right]</math>
 +
 +
נסדר קצת את הסימנים במשוואה:
 +
 +
<math>I_C(t)=C\left[\left(\frac{V}{RC}\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}-\left(\frac{V_0}{RC}\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}\right]</math>
 +
 +
נצמצם את ה-C, נסדר את המשוואה, ונקבל את משוואת הזרם על הקבל:
 +
 +
<math>I_C(t)=\frac{1}{R}(V-V_0)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}</math>
 +
  
 
= ספרות =
 
= ספרות =
שורה 50: שורה 159:
 
<ref name="clement" /><ref name="desoer" />
 
<ref name="clement" /><ref name="desoer" />
 
<references>
 
<references>
 +
<ref name="horowitz">P. Horowitz and W. Hill, [https://www.amazon.com/Art-Electronics-Paul-Horowitz/dp/0521809266 '''The Art of Electronics, 3<sup>rd</sup> Ed.'''], [[wikipedia:he:Cambridge University Press|Cambridge University Press]], [[wikipedia:New-York|New-York]], [[wikipedia:2015|2015]], {{library|002446282}}, Ch. 1</ref>
 
<ref name="clement">P.R. Clement and W.C. Johnson, [https://www.amazon.com/Electrical-Engineering-Science-Preston-Clement/dp/1258242850 '''Electrical Engineering Science'''], [[wikipedia:McGraw-Hill Education|McGraw Hill]], [[wikipedia:1960|1960]], {{library|001331452}}</ref>
 
<ref name="clement">P.R. Clement and W.C. Johnson, [https://www.amazon.com/Electrical-Engineering-Science-Preston-Clement/dp/1258242850 '''Electrical Engineering Science'''], [[wikipedia:McGraw-Hill Education|McGraw Hill]], [[wikipedia:1960|1960]], {{library|001331452}}</ref>
 
<ref name="desoer">C.A. Desoer and E.S. Kuh, [https://www.amazon.com/Basic-Circuit-Theory-Charles-Desoer/dp/B0007ESYUM '''Basic Circuit Theory'''], [[wikipedia:McGraw-Hill Education|McGraw Hill]], [[wikipedia:1969|1969]], {{library|001026415}}</ref>
 
<ref name="desoer">C.A. Desoer and E.S. Kuh, [https://www.amazon.com/Basic-Circuit-Theory-Charles-Desoer/dp/B0007ESYUM '''Basic Circuit Theory'''], [[wikipedia:McGraw-Hill Education|McGraw Hill]], [[wikipedia:1969|1969]], {{library|001026415}}</ref>
 
</references>
 
</references>
 
</div>
 
</div>

גרסה מתאריך 22:41, 18 בנובמבר 2017

לעיון בקבצים נא ללחוץ על התיקייה: תיקיית קבצים

1 שאלות הכנה

1.1 מעגל RC טורי

איור 1: מעגל RC טורי עם נגד 10KΩ וקבל 0.1μF
  1. מהו הזרם שיזרום במעגל המתואר באיור 1, לאחר סגירת המפסק Sw? (ברגע t=t0 בו נסגר המפסק יהיה על הקבל C מתח VC(0)=V0).
  2. חשבו ושרטטו את (i(t עבור הגדלים המופיעים באיור, כאשר V0=4V ,V=10V.
  3. מוסיפים נגד של 10KΩ במקביל לקבל C. מהו קבוע הזמן של המעגל? ומהו מתח הקבל במצב היציב?
  4. שרטט את תגובת התדר (אמפליטודה בלבד) של מתחי הקבל והנגד, ומצא מתוכן את קבוע הזמן של המעגל.
  5. הרכב בעזרת ORCAD את המעגל שבאיור 1 וחזור על כל הסעיפים הקודמים בעזרת סימולציית SPICE. בסעיפים א' ו-ג' יש לבצע מדידה מתוך שרטוט, סעיף ב' לשרטט את צורת הזרם, ובסעיף ד' יש להציג את תגובת האמפליטודה והפאזה.
  • הערה: מומלץ להשתמש ברכיב גנרי הנקרא "SBREAK" שמדמה מתג, יש לקחת בחשבון (אם צריך) כי התנגדותו הפנימית (ברירת מחדל) בזמן שהוא מוליך היא 1 אוהם.

תשובה

1.2 מעגל RL טורי

איור 2: מעגל RL טורי עם נגד 10KΩ ומשרן 10H
  1. מהו הזרם שיזרום במעגל שבאיור 2, לאחר סגירת המפסק Sw. ברגע t=t0 בו המפסק נסגר מתקיים: i(t0)=I0.
  2. חשב ושרטט (i(t עבור הערכים שבציור V=10V, I0=0A.
  3. שרטט את תגובת התדר (אמפליטודה בלבד) של מתחי הסליל והנגד, ומצא מתוכו את קבוע הזמן של המעגל.


1.3 מעגל RLC מקבילי

איור 3: מעגל RLC מקבילי עם נגד 10KΩ, קבל 10nF ומשרן 1H
  1. מהו המתח (V(t המתקבל ביציאת מסנן מעביר נמוכים המתואר באיור 3, לאחר סגירת המפסק Sw? ברגע t=t0 יש על הקבל C מתח V0 ובסליל זורם זרם I0.
  2. חשב את (V(t עבור הערכים הנקובים כאשר: I0=0, V0=5v ,V=10v.
  3. מצא את ערכו של R שייתן ריסון קריטי במעגל. שרטט את תגובת המעגל V(t) עבור ארבעת מצבי הריסון:
    • ריסון יתר.
    • ריסון קריטי.
    • תת-ריסון (תנודתי).
    • ריסון חסר הפסדים.
  4. נזין את המעגל באיור 3 ממקור מתח סינוסי. שרטט את התגובה לתדר V(f) (אמפליטודה בלבד) של המעגל עבור ארבעת מצבי הריסון, והסבר כיצד תחשב את קבועי המעגל מתוך ידיעת גרף תגובת התדר של המעגל.


1.4 מעגל RC טורי עם מקור סינוסי

איור 4: מעגל RC טורי בעל מקור AC עם נגד 10KΩ וקבל 0.1μF
  1. במעגל שבאיור 4, חשב את המתח (V(t על פני הקבל C, לאחר סגירת המפסק Sw ובהנחה שהקבל היה טעון למתח V0 כאשר נתון שמקור המתח הוא סינוסי VS(t)=Vmsin(ωt+θ).
  2. האם קבוע הזמן של תופעת המעבר משתנה ביחס למעגל שבאיור 1? נמק.
  3. מהי הפאזה של מתח הכניסה הדרושה כדי שתופעת המעבר תיעלם?


1.5 קביעת קבוע זמן

כיצד ניתן לקבוע את קבוע הזמן של מעגל מסדר ראשון מתוך גרף התגובה למדרגה כפי שהופיע על גבי המשקף תנודות?

1.6 שיטה לשליפת קבוע הזמן

במקום מפסק Sw ומקור מתח-ישר כפי שמופיע באיור 1 ובאיור 2 ניתן למדוד את תופעת המעבר בעזרת אות-כניסה בעל צורת גל-ריבועי.

הסבר מה היתרונות של שיטה זו ומה תדירות הגל-הריבועי שבה תמליץ להשתמש?

2 תשובות

2.1 תשובה למעגל RC טורי

נפתור את מעגל ה-RC בשיטה הבאה:[1]

אנו יודעים שהזרם דרך הקבל מחושב על-פי הנוסחא:

משוואה 1: [math]I=C\frac{dV}{dt}\,[/math]

זרם זה הוא לא רק הזרם דרך הקבל אלא הזרם הכללי במעגל כיוון שזהו מעגל טורי ולכן הזרם דרך כל הרכיבים שווה.

בנוסף, אנו יודעים שהזרם במעגל גם יכול להיות מחושב עפ"י חוק אוהם:

משוואה 2: [math]I=\frac{V_R}{R}=\frac{V-V_C}{R}\,[/math]

נשווה בין משוואה 1 ומשוואה 2 ונקבל משוואה דיפרנציאלית:

[math]C\frac{dV}{dt}=\frac{V-V_C}{R}[/math]

נבודד אגפים, את המתחים לחוד ואת משתני הזמן לחוד:

[math]\frac{dV}{V-V_C}=\frac{dt}{RC}[/math]

נעשה אינטגרל לשני האגפים:

[math]\int \frac{dV}{V-V_C}=\int \frac{dt}{RC}[/math]

המשתנה היחיד במשוואה הנ"ל הוא המתח על הקבל VC בזמן שכל השאר קבועים, לכן ניתן קצת לסדר את המשוואה:

[math]\int \frac{dV}{V-V_C}=\frac{1}{RC}\int dt[/math]

נפתור ונקבל:

[math]-ln(V-V_C)+D=\frac{1}{RC}\cdot t[/math]

כאשר D הוא קבוע האינטגרציה (האות C לא מתאימה כאן כי היא שייכת לקבל). אין קבוע זמן לאינטגרל הימני כיוון שהוא כלול בתוך קבוע האינטגרציה D.

נכפול במינוס 1 כדי להיפטר מהמקדם של הלוגריתם:

[math]ln(V-V_C)-D=-\frac{t}{RC}[/math]

נגדיר את D בתור לוגריתם של סתם קבוע אחר שנקרא A:

[math]D=ln(A)[/math]

ולכן:

[math]ln(V-V_C)-D=ln(V-V_C)-ln(A)=ln\left(\frac{V-V_C}{A}\right)[/math]

כלומר נוצר השוויון:

[math]ln\left(\frac{V-V_C}{A}\right)=-\frac{t}{RC}[/math]

ניפטר מהלוגריתם הטבעי ע"י אקספוננט:

[math]e^{ln\left(\frac{V-V_C}{A}\right)}=e^{-\frac{t}{RC}}[/math]

נצמצם את הפונקציות ההופכיות:

[math]\frac{V-V_C}{A}=e^{-\frac{t}{RC}}[/math]

נכפול בקבוע A (נעביר אותו לצד השני):

[math]V-V_C=A\cdot e^{-\frac{t}{RC}}[/math]

ונשלוף את מתח הקבל בתלות בזמן:

משוואה 3: [math]V_C(t)=V-A\cdot e^{-\frac{t}{RC}}\,[/math]

נתון בשאלה שברגע t=t0 בו נסגר המפסק יהיה על הקבל C מתח VC(0)=V0

נציב בנוסחא ונקבל:

[math]V_C(0)=V_0=V-A\cdot e^{-\frac{0}{RC}}=V-A\cdot e^{-0}=V-A\cdot 1=V-A[/math]

כלומר:

[math]V_0=V-A[/math]

ולכן:

[math]A=V-V_0[/math]

נציב את A במשוואה 3 ונקבל:

[math]V_C(t)=V-\left(V-V_0\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}[/math]

נפתח את הסוגריים:

[math]V_C(t)=V-V\cdot e^{-\frac{t}{RC}}+V_0\cdot e^{-\frac{t}{RC}}[/math]

עכשיו צריך לחשב את הזרם דרך הקבל (מה שהתבקש בשאלה) ואת זה נעשה ע"י הצבת מתח הקבל VC במשוואה 1:

[math]I_C(t)=C\frac{d\left[V-V\cdot e^{-\frac{t}{RC}}+V_0\cdot e^{-\frac{t}{RC}}\right]}{dt}[/math]

נגזור ונקבל:

[math]I_C(t)=C\left[0-V\cdot\left(\frac{-1}{RC}\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}+V_0\cdot\left(\frac{-1}{RC}\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}\right][/math]

נסדר קצת את הסימנים במשוואה:

[math]I_C(t)=C\left[\left(\frac{V}{RC}\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}-\left(\frac{V_0}{RC}\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}\right][/math]

נצמצם את ה-C, נסדר את המשוואה, ונקבל את משוואת הזרם על הקבל:

[math]I_C(t)=\frac{1}{R}(V-V_0)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}[/math]


3 ספרות

[2][3]

  1. P. Horowitz and W. Hill, The Art of Electronics, 3rd Ed., Cambridge University Press, New-York, 2015, SN:002446282, Ch. 1
  2. P.R. Clement and W.C. Johnson, Electrical Engineering Science, McGraw Hill, 1960, SN:001331452
  3. C.A. Desoer and E.S. Kuh, Basic Circuit Theory, McGraw Hill, 1969, SN:001026415