רשתות תלת פאזיות

מתוך מעבדת מבוא בחשמל
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

לעיון בקבצים נא ללחוץ על התיקייה: תיקיית קבצים

תוכן עניינים

1 שאלות הכנה

1.1 מבנה המד הספק

הסבירו בקצרה את מבנה הוואטמטר האנלוגי ואופן פעולתו.


תשובה

1.2 אופני חיבור מד הספק

בוואטמטר אפשר לחבר בשני אופנים את סליל-המתח ביחס לסליל-הזרם.

  1. מהם שני האופנים?
  2. מתי משתמשים בכל צורת חיבור?
  3. מה היתרונות והחסרונות של כל חיבור?
  4. מה משמעותה של קריאה שלילית?


תשובה

1.3 מדידת סליל

כיצד ניתן למדוד במעבדה התנגדות והשראות של סליל נתון?


תשובה

1.4 מדידה ב-DC

האם מדידת הספק בעזרת מד הספק המיועד לרשת של 50Hz תיתן תוצאה מדויקת ברשת DC?


תשובה

1.5 מקדם הספק

  1. איזה הספק נמדד ע"י הווטמטר ברשת חד-פאזית לזרם-חילופין בעלת עומס המיוצג ע"י |Z| ו-cosφ?
  2. פתחו נוסחא לחישוב ערכו של הקבל הדרוש כדי לתקן גורם-הספק של עומס השראותי לערך רצוי. העומס נתון ע"י |Z| ו-cosφ. הציגו את הפתרון בדיאגרמה וקטורית. הקבל מחובר במקביל לעומס.
  3. חשבו את ערך הקבל עבור עומס השראותי המורכב מהשראות של 1Hy ומנגד טורי של 40Ω, הדרוש לתיקון גורם ההספק ל-1. כאשר תדר הרשת הוא 50Hz.


תשובה

1.6 עומס סימטרי עם גישה לאפס

איור 1: עומס כוכב סימטרי מחובר לרשת תלת-פאזית

באיור 1 נראה עומס כוכב סימטרי מחובר לרשת תלת-פאזית.

  1. מה תהיה קריאת כל אחד מהמודדים כאשר המפסק סגור וכאשר הוא פתוח? בתשובתכם התייחסו לשילוב של V ואימפדנס Z כלשהם.
  2. מהו ההספק הכללי הנמסר לעומס אם הוואטמטר קורא W וואט?


תשובה

1.7 שיטת בארלו

איור 2: שיטת בארלו למציאת הספק במערכת תלת-מופעית מאוזנת. השנאי מתח עם יחס השנאה של 1:1 אשר הופך ב-180 מעלות את מתח-הקו אליו הוא מחובר.

הסבירו את שיטת בארלו (barlow) למדידת הספק (ראו איור 2), כאשר אין גישה לנקודת האפס. שרטטו דיאגרמה וקטורית.

הסבירו מהי חשיבות הקוטביות של השנאי וציירו את שני המצבים האפשריים.


תשובה

1.8 שיטת ארון

איור 3: חיבור בשיטת ארון למדידת הספק ברשת תלת-פאזית באמצעות שני מדי-הספק בלבד

הסבירו את שיטת שני הוואטמטרים ("ארון") למדידת ההספק של עומס (סימטרי או לא סימטרי) ברשת תלת-פאזית (ראו איור 3 וקיראו את הנספח המתאים).

  • הוכיחו את שיטת המדידה, העזרו בדיאגרמה וקטורית.
  • סכום קריאות הוואטמטרים, W1+W2, שווה להספק הכולל הנמסר לעומס תלת פאזי כלשהו בין אם סימטרי או לא.


תשובה

1.9 סדר פאזות

איור 4: מעגל למדידת סדר-פאזות ברשת תלת-פאזית במבנה של חיבור-כוכב כאשר הנקודה האמצעית מסומנת בתור V0.

נתחו את השיטה לקביעת סדר הפאזות באמצעות שתי מנורות וקבל, ראו איור 4.

  • רמז: חשבו את המתח V0 בצומת הכוכב, חשבו את המתחים בענפי הנגדים, והשוו ביניהם, קחו ωRC=1.
  • השתמשו בדיאגרמה וקטורית.


תשובה

 

2 תשובות לדו"ח מכין

2.1 תשובה למבנה המד הספק

איור 5: המבנה הפנימי של מד-הספק, סליל-הזרם קבוע וסליל-המתח נע[1]. סרטון הדגמה הממחיש עיקרון זה: Galvanometer Principle

זהו מד הספק מסוג דינמומטר (כפי שרשום בסעיף 2.5 של המדריך למשתמש), במד הספק טיפוסי המתח v מיושם לסליל-מתח (הסליל הנע באיור 5) וכך נוצר שדה-מגנטי בעל עוצמה יחסית ל-v. הזרם i הזורם בסליל-זרם (סליל השדה באיור 5) מגיב עם השדה-המגנטי ומיצר מומנט היחסי למכפלת vi הרגעית. הסטייה (deflection) של המחט היא יחסית למומנט שהתפתח, אך כיוון שהמחט אינה יכולה לזוז כל-כך מהר כמו תדירות האות הנמדד - מקבלים ערך ממוצע היחסי לממוצע של vi, כלומר סטיית-המחוג מעידה על ההספק הממוצע בוואטים[1].

עבור אותות סינוסואידלים בסלילים קריאת המד הספק תהיה כלהלן:

קיים זרם סינוסואידלי כלשהו:

[math]i=\sqrt{2}Icos(\omega t)[/math]

קיים מתח סינוסואידלי כלשהו:

[math]v=\sqrt{2}Vcos(\omega t+\theta)[/math]

הערות:

  • אות קטנה כמו v/i/p מייצגת מתח/זרם/הספק רגעי (משתנה בזמן) ואילו אות גדולה כגון V/I/P מייצגת מתח/זרם/הספק קבוע (בזמן).
  • המתח יכול להיות בהפרש-מופע מהזרם כאשר במעגל יש רכיבים היגביים לכן הוספנו לו זווית.
  • בשני המקרים הכפלנו בשורש שתיים כיוון שהמתח V והזרם I הם ערכי RMS הנמדדים ברמ"ס.

המכפלה של המתח והזרם נותנת הספק:

[math]p=vi=\sqrt{2}Vcos(\omega t+\theta)\cdot \sqrt{2}Icos(\omega t)[/math]

לפי הזהות הטריגונומטרית:

[math]2cosAcosB=cos(A-B)+cos(A+B)[/math]

אנו כותבים שההספק הוא:

[math]p=VIcos\theta+VIcos(2\omega t+\theta)[/math]

ניתן לעשות אינטגרציה, או פשוט לצמצם את הביטוי [math]VIcos(2\omega t+\theta)[/math] אשר מתאפס על פני מחזור (הממוצע של גל-סינוסואידלי הוא אפס), ומקבלים את ההספק הממוצע:

[math]P=VIcos\theta[/math]

כאשר נזכיר שוב שהזווית θ (תטא) היא הפרש-המופע בין המתח והזרם, אך רק כאשר מקור-הכוח הוא סינוסי טהור, ואילו במקומות בהם יש הרבה הפרעות כגון רשתות עם הרבה מכשירים ממותגים - רק לקוסינוס של תטא (המקדם-הספק) יש משמעות.

2.2 תשובה לאופני חיבור מד הספק

איור 6: חיבור סליל-המתח במקביל למקור. כאשר RVC מייצג את ההתנגדות (המאוד גבוהה) של סליל-המתח
איור 7: חיבור סליל-המתח במקביל לעומס. כאשר R_LOAD מייצג את התנגדות העומס

המידע מבוסס על מה שכתוב בסימוכין [2][3] ובסעיף 2.5 של המדריך למשתמש.

2.2.1 שני אופני חיבור

שני האופנים לחיבור מד הספק הם:

  1. חיבור סליל-המתח בצד המקור כפי שרואים באיור 6.
    המד הספק מודד את ההספק הנצרך ע"י סליל-הזרם הפנימי שלו בנוסף להספק על העומס. זה מתרחש כיוון שמפל-המתח על סלילי-הזרם VCC ביחד עם מפל-המתח בעומס VL משפיעים על סליל-המתח של המד הספק:
    [math]V_{VC}=V_{CC}+V_{LOAD}[/math]
    בזמן שהזרם בסליל-הזרם מייצג רק את הזרם בעומס.
  2. חיבור סליל-המתח בצד העומס כפי שרואים באיור 7.
    הזרם בסלילי-השדה (סליל-הזרם) הוא חיבור של זרם-העומס IL והזרם על סליל-המתח IVC:
    [math]I_{CC}=I_{VC}+I_{LOAD}[/math]
    לכן ההספק הנצרך ע"י סליל-המתח נכלל בקריאת המכשיר.

2.2.2 צורת חיבור המד הספק

בשתי צורות החיבור האפשריות, ההספק הנמדד כולל את ההספק על הסליל הקרוב ביותר אל העומס (ראו טבלה בסעיף הבאה), כלומר בשני המקרים לא מקבלים ישירות את ההספק בעומס ללא תיקון שגיאות.

  1. החיבור באיור 6 עדיף כאשר זרם-העומס IL הוא נמוך ביחס לזרם-הנָקוּב (זרם העבודה המירבי בו היצרן הצהיר שהמכשיר עובד בצורה תקינה) של סלילי-הזרם ולכן ניתן יהיה להזניח את הזרם (וההספק המבוזבז) על סליל-הזרם ICC.
    כלומר: [math]I_L\ll I_{RATED}[/math]
  2. החיבור באיור 7 עדיף כאשר מתקרבים לזרם-הנקוב של המד הספק, כלומר ההספק על סלילי-הזרם הולך וגדל.
    כלומר: [math]I_L\leqslant I_{RATED}[/math]

2.2.3 יתרונות וחסרונות של צורות חיבור

אופן החיבור איור 6 איור 7
יתרונות
  • פועל טוב בזרם נמוך (מהזרם-הנקוב) כיוון שמפל-המתח על סליל-הזרם גם יהיה נמוך ולכן תהיה שגיאה נמוכה כתוצאה מההספק המבוזבז על סליל-הזרם.
  • עדיף במידה וחייבים לקחת בחשבון את ההפסדים של המד הספק, כיוון שעבור מתח קבוע - נוצרת שגיאה קבועה אשר ניתן לתקנה בקלות.
  • עדיף כאשר יודעים את התנגדות סליל-המתח RVC אך לא יודעים את התנגדות סליל-הזרם, על-מנת לתקן את בזבוז ההספק של המכשיר.
  • כאשר מחברים את המד הספק ללא עומס - ניתן לדעת בוודאות את ההספק המתבזבז על סליל-המתח (בהנחה שמתח-המקור מיושר בצורה איכותית) ולכן בעת חיבור העומס - ניתן לקזז את הערך האמיתי אותו מדדנו קודם אשר מתבזבז על המכשיר עצמו. יש אפילו כפתור ייעודי לכך (Set Zero) במד הספק.
  • ההספק המתבזבז על הנגד הוא מאוד נמוך ושווה לערך [math]5000\,\Omega/V[/math] עפ"י סעיף 2.5 של המדריך למשתמש.
  • פועל טוב בזרם גבוה (בסדר גודל של הזרם-הנקוב) כיוון שאז ההספק המבוזבז על סליל-המתח יהיה נמוך בהשוואה להספק על העומס כתוצאה מהתנגדות מאוד גבוהה של סליל-המתח.
חסרונות
  • נוצר מפל-מתח קטן על הסליל בסדר גודל של [math]60\,mV/A[/math] לפי סעיף 2.5 של המדריך למשתמש אותו יש לקזז מהמדידה. כלומר הוא מודד גם את ההספק [math]I^2R_{CC}[/math] המתבזבז על סליל-הזרם.
  • המתח על סליל-המתח גבוה מהמתח על העומס כתוצאה ממפל המתח על סליל-הזרם.
  • לא פועל טוב בזרם גבוה (בסדר גודל של הזרם-הנקוב).
  • במידה ודרושה מדידה מדוייקת - רצוי לקזז גם את ההספק המתבזבז על סליל-המתח.
  • דרך סליל-הזרם עובר גם הזרם הקטן שעובר דרך סליל-המתח בנוסף לזרם דרך העומס.
  • לא פועל טוב בזרם נמוך (מהזרם-הנקוב).

2.2.4 משמעות קריאה שלילית

אי-אפשר לראות קריאה שלילית של הספק במד הספק התקבילי כיוון שהמחוון שלו נע רק בין 0 ל-1, אך ניתן לראות שהמחט מנסה לזוז מצד שמאל ל-0 כאשר יש הספק שלילי.

בגדול, רואים הספק שלילי כאשר הסימן של המתח והסימן של הזרם הפוכים.

זה קורה בגלל כמה סיבות:

  1. כנראה שכפתור Reverse של המד הספק תקבילי לחוץ, כפתור זה מיועד למקרים של הספק-שלילי כיוון שהמחט אינה יכולה להראות ערכים שליליים.
  2. אפשרי שהחיבורים של סליל-הזרם או סליל-המתח הפוכים, אך לא שניהם יחד כיוון שמינוס כפול מינוס זה פלוס. מקרה זה דומה למקרה של לחיצה על כפתור Reverse.
  3. אם המקדם הספק נמוך מדי כתוצאה מפעילות של רכיבים היגביים, כלומר הזרם והמתח לא באותו מופע - זה אומר שהסימן (הכיוון) של המתח יהיה שונה מהסימן (הכיוון) של הזרם בחלק מהמחזור (של מקור המתח הסינוסואידלי) ולכן המכפלה שלהם תיתן הספק שלילי, ואם הזמן שבו ההספק שלילי עולה על הזמן בו ההספק חיובי - הממוצע יהיה הספק שלילי, זה קורה כאשר המקדם הספק נמוך מחצי כלומר זווית-המופע תהיה בין 60° ל-90° ובמקרה של ההספק שפותח בשיטת ארון בנספח בעברית אם נציב בנוסחא [math]W_1=\sqrt3IEcos(30^\circ+\varphi)[/math] זוויות גדולות מ-60° נקבל הספק שלילי.
  4. אם קיימים אלמנטים אקטיביים בעומס אשר עלולים לדחוף זרם בחזרה למקור.

2.3 תשובה למדידת סליל

איור 8: מערך למדידת השראות סליל. הכולל מד-זרם, מד-מתח, מד-הספק ונגד-משתנה.

2.3.1 מדידה באמצעות התנגדות, מתח וזרם

את ההתנגדות הפנימית של הסליל נבדוק ע"י מדידה ישירה באמצעות רב-מודד ספרתי בעת שהוא מנותק מהמעגל, כיוון שבזרם-ישר (DC) המשרן מהווה קצר ולכן נמדוד כך אך ורק את התנגדות החוטים של הסליל, נסמן את ההתנגדות הפנימית של המשרן ע"י [math]R_L[/math].

עבור מדידת השראות הסליל (מסומנת ב-L ע"ש לנץ) אין מכשיר ייעודי במעבדה, לכן נצטרך לבדוק במדידה עקיפה כפי שרואים באיור 8 באמצעות העברת זרם חלופין (AC) בתדר ידוע (f) ומדידת המתח (V) עליו והזרם (I) העובר דרכו, כאשר ידוע שהסליל מציית לחוקי אוהם:

[math]V=I\cdot R[/math]

כאשר אנו יודעים שההתנגדות R בחוק הנ"ל היא עכבת הסליל וכוללת בתוכה את ההתנגדות הפנימית של הסליל אשר מדדנו בהתחלה:

[math]V = I\cdot |Z_L| = I\cdot |R_L+j\omega L| = I\cdot |R_L+j2\pi f L| = I\cdot \sqrt{(2\pi f\cdot L)^2+R_L^2}[/math]

נעשה שינוי נושא נוסחא ונשלוף את השראות הסליל - L:

[math]L = \frac{\sqrt{\left(\frac{V}{I}\right)^2-R_L^2}}{2\pi f}[/math]

כאשר f הינו תדר רשת החשמל בארץ, כלומר 50 הרץ.

2.3.2 מדידה באמצעות מד הספק

איור 9: משולש ההספקים

באיור 9 משורטט משולש ההספקים. אנו יודעים ש-Q מייצג את ההספק העיוור, כלומר את ההספק על הרכיבים הריאקטיביים בלבד, ואילו P מייצג את ההספק הפעיל, כלומר ההספק על הרכיבים האוהמיים הטהורים בלבד. ולכן כל שצריך זה ליצור מערך מדידה עם מד הספק כפי שרואים באיור 8.

את ההספק הפעיל P מקבלים ישירות מהמד הספק, ואילו בשביל ההספק העיוור צריך למדוד קודם כל את ההספק המדומה S ע"י מדידת המתח V והזרם I באמצעות רב-מודד ספרתי ולכפול ביניהם:

משוואה 1: [math]S=V\cdot I[/math]

הקשר בין ההספקים הוא לפי משפט פיתגורס:

[math]S^2=P^2+Q^2[/math]

כלומר ההספק העיוור הוא:

[math]Q=\sqrt{S^2-P^2}=\sqrt{(V\cdot I)^2-P^2}[/math]

אנו יודעים שהספק מחשבים עפ"י הנוסחא:

[math]P=I^2\cdot R[/math]

ולכן הספק הסליל הוא:

[math]Q=I^2\cdot |Z_L|=I^2\cdot |j\omega L|=I^2\cdot\omega L[/math]

נא לשים לב! העכבה של הסליל אינה כוללת את ההתנגדות הפנימית שלו RL כיוון שההספק-ההיגבי (ריאקטיבי) על הסליל הוא הספק-עיוור ולא הספק-פעיל, ולכן צריך להכניס את ההתנגדות הפנימית RL של הסליל אל חישוב ההספק-הפעיל P (ולהסיר אותה מחישוב ההספק-העיוור Q):

משוואה 2: [math]P=I^2\cdot (R+R_L)[/math]

זהו מעגל טורי לכן הזרם I זהה גם על הנגד וגם על הסליל עצמו (כולל ההתנגדות הפנימית האוהמית שלו).

ומכאן מחלצים את ההשראות:

[math]L=\frac{Q}{I^2\omega}=\frac{\sqrt{S^2-P^2}}{I^2\omega}=\frac{\sqrt{S^2-P^2}}{I^2\cdot 2\pi f}[/math]

כאשר f הינו תדר רשת החשמל בארץ, כלומר 50 הרץ.

נוסחא זו מספיקה כיוון שאם נמשיך ונציב את ההספק S ממשוואה 1 ו-P ממשוואה 2 אנו בסה"כ נוכיח את הנוסחא מהסעיף הקודם, נקבל:

[math]L=\frac{\sqrt{(V\cdot I)^2-[I^2\cdot (R+R_L)]^2}}{I^2\cdot2\pi f}[/math]

נפתח את הסוגריים בתוך השורש:

[math]L=\frac{\sqrt{I^2\cdot V^2-I^4\cdot (R+R_L)^2}}{I^2\cdot2\pi f}[/math]

נעשה מכנה משותף של הזרם בתוך השורש:

[math]L=\frac{\sqrt{I^4\cdot\left(\frac{V^2}{I^2}-(R+R_L)^2\right)}}{I^2\cdot2\pi f}[/math]

נוציא את הזרם מחוץ לשורש:

[math]L=\frac{I^2\cdot\sqrt{\left(\frac{V}{I}\right)^2-(R+R_L)^2}}{I^2\cdot2\pi f}[/math]

נצמצם את הזרם ונקבל:

[math]L=\frac{\sqrt{\left(\frac{V}{I}\right)^2-(R+R_L)^2}}{2\pi f}[/math]

כאשר f הינו תדר רשת החשמל בארץ, כלומר 50 הרץ, והפעם לעומת הסעיף הקודם יש לנו גם את R שהוא עוד נגד בטור לסליל.

2.3.3 מדידת חצי המתח

נשנה ערכים במעגל ונבדוק מתי המתח על הסליל יורד פי 2 לעומת מתח המקור VIN, אך הפעם בניגוד לאיור 8 נמדוד את המתח ישירות על הסליל, ניתן לעשות זאת בשתי דרכים:

  1. נחבר נגד-משתנה בטור לסליל כפי שרואים באיור 8 עד שנגיע לחצי המתח.
  2. נשחק עם התדר של המחולל אותות עד שנגיע לחצי המתח.

נעשה מחלק-מתח פשוט כדי למדוד את המתח על הסליל:

[math]V_L=V_{IN}\cdot\frac{Z_L}{R+Z_L}[/math]

כזכור אנו רוצים לבדוק מתי המתח על הסליל יורד פי 2, כלומר:

[math]V_L=\frac{V_{IN}}{2}[/math]

נציב זאת במשוואה ונקבל:

[math]\frac{V_{IN}}{2}=V_{IN}\cdot\frac{Z_L}{R+Z_L}[/math]

נצמצם את VIN ונקבל:

[math]\frac{1}{2}=\frac{Z_L}{R+Z_L}[/math]

חשוב מאוד לזכור שהעכבות הן בערך מוחלט, ולכן לפני שנמשיך עם תימרונים מתימטיים, נרשום את העכבות כאשר נזכיר שוב שהערך RL מייצג את ההתנגדות הפנימית של הסליל:

[math]\frac{1}{2}=\frac{|R_L+j\omega L|}{|R+R_L+j\omega L|}[/math]

נפתח את הערך המוחלט:

[math]\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{R_L^2+(\omega L)^2}}{\sqrt{(R+R_L)^2+(\omega L)^2}}[/math]

נעביר את המכנים לצד השני:

[math]\sqrt{(R+R_L)^2+(\omega L)^2}=2\cdot\sqrt{R_L^2+(\omega L)^2}[/math]

נעלה בריבוע את שני האגפים:

[math](R+R_L)^2+(\omega L)^2=2^2\cdot \left(R_L^2+(\omega L)^2\right)[/math]

נפתח את הסוגריים באגף ימין:

[math](R+R_L)^2+(\omega L)^2=4R_L^2+4(\omega L)^2[/math]

נחסר אומגה L משני האגפים:

[math](R+R_L)^2-4R_L^2=4(\omega L)^2-(\omega L)^2[/math]

ונקבל:

[math](R+R_L)^2-4R_L^2=3(\omega L)^2[/math]

נחלק ב-3 ונעשה שורש:

[math]\sqrt{\frac{(R+R_L)^2-4R_L^2}{3}}=\omega L[/math]

ולבסוף נחלק באומגה ונקבל:

[math]L=\sqrt{\frac{(R+R_L)^2-4R_L^2}{3}}\cdot\frac{1}{\omega}[/math]

הביטוי שקיבלנו קצת מסורבל, ולכן נהוג להשתמש בשיטה זו רק כאשר התנגדות הסליל הפנימית RL היא אפס או כאשר עכבת הסליל מאוד גבוהה ביחס להתנגדות הפנימית שלה (בתדר גבוה למשל):

[math]R_L=0[/math]

כלומר:

[math]L=\sqrt{\frac{(R+0)^2-4\cdot 0^2}{3}}\cdot\frac{1}{\omega}[/math]

נעיף את כל האפסים:

[math]L=\sqrt{\frac{R^2}{3}}\cdot\frac{1}{\omega}[/math]

ונקבל:

[math]L=\frac{R}{\sqrt{3}\cdot\omega}=\frac{R}{\sqrt{3}\cdot 2\pi f}[/math]

כאשר הערכים הם בהתאם לדרך שבחרנו:

  1. אם משחקים רק עם הנגד אזי R הינה התנגדות הדקדה או הנגד-משתנה, ואילו f הינו תדר רשת החשמל בארץ, כלומר 50 הרץ.
  2. אם משחקים רק עם התדר אזי f הינו תדר המחולל אותות ו-R הינו חיבור של הנגד המחובר בטור למעגל יחד עם התנגדות המוצא של המחולל אותות שאמורה להיות 50 אוהם.

2.4 תשובה למדידה ב-DC

השאלה קצת מבלבלת, כיוון שאם המד הספק מוגדר ע"י היצרן לעבוד רק ב-50Hz - זה אומר שהוא לא תוכנן מלכתחילה לעבוד ב-DC, כמו למשל המד-הספק ספרתי אשר לא מגיב ב-DC (היצרנים נוטים יותר להדגיש את היתרונות של המכשירים שלהם מאשר את החסרונות שלהם).

לעומת זאת בדפי-היצרן של המד הספק תקבילי בסעיף 1.3 של המדריך למשתמש רשום במפורש: Frequency Range: DC to 20kHz, כלומר היצרן יידאג לפרסם זאת.

במקרה זה, של המד הספק תקבילי, הוא מבוסס על עקרון של "מד-הספק דינמו-מטר קונבנציונלי" כפי שרשום במדריך למשתמש של EW604 ולכן אמור לעבוד גם ב-DC וגם ב-AC, כאשר במידה ותדר ה-AC גבוה מספיק - נקבל על המד הספק את הערך הממוצע של ההספק כיוון שהמחט לא תספיק להגיב מספיק מהר לשינויי ה-AC.

2.5 תשובה למקדם הספק

2.5.1 הספק הנמדד ברשת חד-פאזית לזרם-חילופין

איור 10: משולש העכבות כאשר X מציין את הרכיבים ההיגביים (במקרה והוא שלילי - האנך צריך להיות גם שלילי), R מציין את הרכיבים ההתנגדותיים (אוהמיים טהורים ללא רכיב היגבי), ו-|Z| מציין את עכבת המעגל.

אם קיים מעגל בעל רכיבים היגביים (ריאקטיביים) כגון סליל וקבל, ורכיבים אוהמיים כגון נגדים, נוכל לרשום את עכבת המעגל המסומנת באות Z:

[math]Z=R+jX[/math]

כאשר R מסמן את הנגדים ו-X את הרכיבים ההיגביים כפי שרואים באיור 10.

ואילו העומס מחושב בהתאם לכללי הגיאומטריה (פיתגורס):

[math]|Z|=|R+jX|=\sqrt{R^2+X^2}[/math]

בנוסף ידוע לפי חוק אוהם שהעכבה היא המנה של המתח והזרם (במקרה של AC משתמשים ב-RMS), כלומר:

[math]|Z|=\frac{V}{I}=\frac{V_{RMS}}{I_{RMS}}[/math]

הספק-פעיל (P) זהו ההספק המתבזבז במעגל כלומר זהו אינו ההספק-ההיגבי (Q שהממוצע שלו הוא אפס) אלא זהו ההספק על הנגדים (R), ניתן לחשבו בשלוש דרכים המסוכמות בסט-המשוואות הבא:

[math] P= \begin{cases} V_R\cdot I_R, & -\infty \lt R \lt +\infty \\[2ex] \frac{V_R^2}{R}, & -\infty \lt I \lt +\infty \\[2ex] I_R^2\cdot R, & -\infty \lt V \lt +\infty & \end{cases} [/math]

כדי לחשב את ערך הנגדים (R) כאשר נתונה העכבה (|Z|), משתמשים בכלל הטריגונומטרי (בהתאם לאיור 10):

[math]R=|Z|cos\phi[/math]

אם נניח שזהו מעגל טורי, ניתן להסיק:

  1. אותו הזרם עובר דרך כל הרכיבים:
    [math]I_R=I[/math]
  2. המתח על הנגד R לפי חוק אוהם:
    [math]V_R=I_R\cdot R=I\cdot R=\frac{V}{|Z|}\cdot R=\frac{V}{|Z|}\cdot |Z|cos\phi=V\cdot cos\phi[/math]

נציב את הערכים האחרונים בסט-המשוואות הנ"ל, נסמן בצורה מתימטית נכונה את תחום הערכים המיותרים עבור כל נוסחא, ונקבל:

[math] P= \begin{cases} V\cdot cos\phi\cdot I_R=V\cdot I\cdot cos\phi, & \forall R\in\mathbb{R} \\[2ex] \frac{\left(V\cdot cos\phi\right)^2}{|Z|cos\phi}=\frac{V^2}{|Z|}cos\phi, & \forall I\in\mathbb{R} \\[2ex] I^2\cdot |Z| cos\phi, & \forall V\in\mathbb{R} & \end{cases} [/math]

כאשר נזכיר שהזווית φ (אשר שווה לאפס כאשר אין רכיבים היגביים) מייצגת שני דברים:

  1. היחסים במשולש העכבות אשר באיור 10 או במשולש ההספקים.
  2. הפרש המופע בין המתח והזרם.

2.5.2 חישוב קבל לתיקון גורם הספק

איור 11: הוספת קבל לתיקון מקדם ההספק במקביל למעגל. אם ניקח את המעגל באיור 8 ונוסיף קבל במקביל למעגל בין הנקודות A ו-B נוכל לתקן את מקדם ההספק
איור 12: תיקון למקדם הספק חיובי

אם נוסיף קבל במקביל למערכת כפי שרואים באיור 11 ונשרטט את משולש ההספקים כפי שרואים באיור 12 ונגדיר שהזווית לפני התיקון היא φ נקבל את הערך של ההספק-העיוור (הריאקטיבי) Q:

משוואה 3: [math]Q=S\cdot sin(\phi)[/math]

אם ההספק על הקבל יהיה זהה לחלוטין לסך ההספק-העיוור אנו נבטל לגמריי את ההספק-העיוור, אך אנו רוצים שאחרי התיקון ההספק העיוור יהיה בסך-הכל קטן יותר, ולכן יש שתי דרכים לעשות זאת:

2.5.2.1 תיקון למקדם-הספק חיובי (מפגר)

אם נגדיר את זווית הפרש המופע הרצויה בין המתח והזרם לאחר התיקון בתור β ואת ההספק-העיוור הרצוי בתור [math]Q'[/math] ונקבל:

[math]Q'=S'\cdot sin(\beta)[/math]

אך אנו לא יודעים את ערכו של [math]S'[/math] ולכן נחשב את [math]Q'[/math] באמצעות פונקצייה טריגונומטרית שונה:

[math]tg\beta=\frac{Q'}{P}[/math]

מה היתרון כאן? ש-P אינו משתנה כתוצאה מתיקון הספק, כלומר אנו יודעים את P לעומת [math]S'[/math] שאותו אנו לא יודעים.

נא לשים לב: תיקון ההספק מתבצע אך ורק על ההספק הריאקטיבי (העיוור) ואינו משפיע על ההספק האקטיבי (הפעיל). ולכן ההספק-העיוור החדש יהיה:

משוואה 4: [math]Q'=P\cdot tg\beta[/math]

ההפרש בין ההספק-העיוור המקורי וההספק-העיוור החדש נותן לנו את גודל ההספק-העיוור אותו אנו רוצים לתקן:

[math]\Delta Q=Q-Q'=S\cdot sin(\phi)-P\cdot tg\beta[/math]

אנו יודעים שיש קשר בין P ל-S בהתאם למשולש-פיתגורס:

משוואה 5: [math]P=S\cdot\cos\phi[/math]

נציב את P במשוואה שלנו ונקבל:

[math]\Delta Q=S\cdot sin(\phi)-S\cdot\cos\phi\cdot tg\beta[/math]

הערת שוליים: היינו יכולים להקל על החישובים אם היינו מתחילים מן ההתחלה עם טנגנס אך רצינו להדגיש ש-P נשאר קבוע.

ההספק-העיוור [math]\Delta Q[/math] צריך להיות שלילי, כלומר בכיוון מנוגד להספק-העיוור המקורי שהוא הספק-עיוור חיובי (הספק השראותי), ולכן צריך לשים קבל אשר ייתן הספק-עיוור שלילי (הספק קיבולי). חישוב הספק על קבל מחושב על-פי נוסחת ההספק:

[math]Q_C=V_C\cdot I_C=I_C^2\cdot|Z_C|=\frac{V_C^2}{|Z_C|}[/math]

וכדי לחלץ את ערך הקבל המתאים נשווה בין ההספק-העיוור הרצוי לנו וההספק-העיוור על קבל:

[math]\Delta Q=Q_C[/math]

ונקבל:

[math]S\cdot sin(\phi)-S\cdot\cos\phi\cdot tg\beta=\frac{V_C^2}{|Z_C|}[/math]

בצד שמאל נוציא גורם משותף S, ובצד ימין נציב את עכבת הקבל:

[math]S\left(sin(\phi)-\cos\phi\cdot tg\beta\right)=\frac{V_C^2}{|\frac{1}{j\omega C}|}=\frac{V_C^2}{\frac{1}{\omega C}}=V_C^2\cdot\omega C[/math]

אנו יודעים שהמתח על הקבל הוא למעשה המתח על כל המעגל כיוון שהקבל מחובר במקביל למעגל ולכן:

[math]V_C=V[/math]

כמו-כן אנו יודעים שההספק-המדומה S הוא פשוט המכפלה של המתח והזרם במעגל אשר נמדדו באמצעות רמ"ס כלומר:

משוואה 6: [math]S=V\cdot I[/math]

ולכן ניתן לכתוב את המשוואה כך:

משוואה 7: [math]V\cdot I\cdot\left(sin(\phi)-\cos\phi\cdot tg\beta\right)=V^2\cdot\omega C[/math]

וניתן לצמצם את V בשני הצדדים:

[math]I\cdot\left(sin(\phi)-\cos\phi\cdot tg\beta\right)=V\cdot\omega C[/math]

ואם נחלק בזרם I נוכל לקבל את התלות בפרמטר אחד (העכבה) במקום בשניים (המתח והזרם) ונקבל:

[math]sin(\phi)-\cos\phi\cdot tg\beta=\frac{V}{I}\cdot\omega C=|Z|\cdot\omega C[/math]

נחלץ את ערך הקבל C ונקבל:

[math]C=\frac{sin(\phi)-\cos\phi\cdot tg\beta}{|Z|\cdot\omega}[/math]

נציב במקום התדירות-המעגלית את התלות בתדר ונקבל את ערכו של הקבל לתיקון הספק:

[math]C=\frac{sin(\phi)-\cos\phi\cdot tg\beta}{|Z|\cdot2\pi f}[/math]

2.5.2.2 תיקון למקדם-הספק שלילי (מקדים)

איור 13: תיקון למקדם הספק שלילי

בדרך השנייה נתקן שוב את זווית הפרש-המופע רק שהפעם במקום קצת להפחית את ההספק-העיוור החיובי כפי שראינו באיור 12 - נבטל אותו לגמריי ונוסיף עוד זווית שלילית כפי שרואים באיור 13.

הערה חשובה: לא נהוג לתקן בשיטה זו (למקדם-הספק מקדים) כיוון שאז המתח על העומס עלול להיות גבוה מאשר מתח-המקור, העומס הופך לספק של הספק-עיוור (הספק שלילי מייצג ייצור של הספק), כך שפיצוי-יתר עלול להיות מסוכן בצרכנים רגישים כמו נורות למשל (ניתן לראות זאת לפי דיאגרמת קאפ אך חומר זה הוא מחוץ למסגרת הלימוד).

כלומר, ההספק על הקבל אשר נוסיף במקביל למערכת יהיה סך ההספק-העיוור הקיים בנוסף להספק-העיוור הרצוי השלילי:

[math]Q_C=Q+Q'[/math]

הפעם נשתמש ישר בטנגנס כיוון שכבר למדנו שההספק הפעיל (P) אינו משתנה כתוצאה מהוספת רכיבים היגביים (ריאקטיביים) טהורים (ללא התנגדות אוהמית), נציב את משוואה 5 במשוואה 4, נוסיף לזה את משוואה 3 ונקבל:

[math]Q_C=S\cdot sin\phi+S\cdot\cos\phi\cdot tg\beta[/math]

את הספק-העיוור על הקבל QC ניתן לשלוף ממשוואה 7 ונקבל:

[math]V^2\cdot\omega C=S\left(sin\phi+cos\phi\cdot tg\beta\right)[/math]

נציב את ההספק-המדומה ממשוואה 6 ונקבל:

[math]V^2\cdot\omega C=V\cdot I\left(sin\phi+cos\phi\cdot tg\beta\right)[/math]

נצמצם את המתח V:

[math]V\cdot\omega C=I\left(sin\phi+cos\phi\cdot tg\beta\right)[/math]

נחלק ב-I כדי להיות תלויים אך ורק בעכבת המעגל במקום בשני פרמטרים (המתח והזרם):

[math]\frac{V}{I}\cdot\omega C=|Z|\omega C=sin\phi+cos\phi\cdot tg\beta[/math]

נחלץ את הקבל ונציב את התדר במקום התדר-המעגלי:

[math]C=\frac{sin\phi+cos\phi\cdot tg\beta}{|Z|\cdot2\pi f}[/math]

ונראה שקיבלנו נוסחא דומה מאוד לסעיף הקודם רק שיש פלוס במקום מינוס במונה.

הערה: זהו מקדם-הספק שלילי כיוון שהזווית β שלילית אך שווה בערכה המוחלט לזווית בסעיף הקודם.

2.5.2.3 סיכום תיקון מקדם-הספק

משני הסעיפים הקודמים מתקבל שהנוסחא הכללית לתיקון מקדם-הספק היא:

[math]C=\frac{sin\phi\pm\cos\phi\cdot tg\beta}{|Z|\cdot2\pi f}[/math]

כאשר העכבה |Z| מייצגת את היחס בין המתח והזרם לפני התיקון.

הזרם אחרי התיקון יורד כיוון שהקבל אוגר ומשחרר אנרגייה במהלך המחזורים הסינוסואידליים במקום שמקור-הכוח יעשה זאת - מה שחוסך בייצור חשמל עבור חברת-החשמל ולכן כל-כך חשוב לתקן את מקדם ההספק.

2.5.3 חישוב קבל בעומס השראותי

נתון בשאלה:

  • עומס השראותי [math]L=1\,H[/math]
  • עומס אוהמי [math]R=40\,\Omega[/math]
  • גורם הספק רצוי [math]PF=1[/math]
  • תדר [math]f=50\,Hz[/math]

אם מקדם ההספק הרצוי הוא 1 זה אומר שהפרש-המופע בין המתח לזרם הוא אפס:

[math]PF=cos\beta=1[/math]

[math]\beta=\arccos1=0[/math]

העכבה הכוללת במעגל מורכבת מהחלק ההיגבי והחלק האוהמי:

[math]Z=Z_R+Z_L=R+j\omega L=R+j2\pi fL=40+j2\pi 50\cdot 1=40+j100\pi[/math]

כאשר הערך המוחלט של העכבה מייצג את היחס בין המתח והזרם אשר נמדדים ע"י רמ"ס:

[math]|Z|=\frac{V}{I}=|40+j100\pi|=\sqrt{40^2+(100\pi)^2}=316.7\,\Omega[/math]

ואילו הזווית של העכבה מייצגת את הפרש-המופע בין המתח והזרם:

[math]\phi=\arg Z=\arctan\frac{100\pi}{40}=82.74^\circ[/math]

ניקח את הנוסחא לתיקון מקדם-הספק אשר מצאנו בסעיף הקודם:

[math]C=\frac{sin\phi\pm\cos\phi\cdot tg\beta}{|Z|\cdot2\pi f}[/math]

ונציב בה את הערכים:

[math]C=\frac{sin82.74^\circ\pm\cos82.74^\circ\cdot tan0}{316.7\cdot2\pi 50}[/math]

כבר רואים שהחלק הימני של המונה מתאפס (כיוון שטנגנס 0 הוא 0) ברגע שעושים תיקון למקדם-הספק אידיאלי של 1, ולכן מקבלים רק ערך אחד של קבל אפשרי לתיקון מקדם-ההספק:

[math]C=\frac{sin82.74^\circ}{316.7\cdot2\pi 50}=9.97\,\mu F\approx10\,\mu F[/math]

2.6 תשובה לעומס סימטרי עם גישה לאפס

באיור 1 רואים רשת תלת-מופעית סימטרית מחוברת בחיבור כוכב.

2.6.1 קריאת המודדים

2.6.1.1 V1

כיוון ש-V1 מחובר בין פאזה לאדמה מקבלים את מתח הרשת, לדוגמא [math]V_1=30\,V[/math]

מתח זה נקרא מתח-פאזה.

2.6.1.2 V2

כיוון ש-V2 מחובר בין פאזה לפאזה מקבלים את מתח הרשת מוכפל פי שורש שלוש, לדוגמא [math]V_2=\sqrt{3}\cdot V_1=\sqrt{3}\cdot 30=52\,V[/math]

מתח זה נקרא מתח-הקו (בין שתי פאזות).

2.6.1.3 A0

כיוון שזוהי רשת מאוזנת אנו יודעים שכל צרכן מקבל את אותו העומס ואם לדוגמא נגדיר שהמקור מספק:

[math]V_R=V_1\angle{0^\circ}[/math]

[math]V_S=V_1\angle{-120^\circ}[/math]

[math]V_T=V_1\angle{-240^\circ}=V_1\angle{+120^\circ}[/math]

נוכל לחבר את כל המתחים הללו ולקבל בנקודה המרכזית של הכוכב:

[math]V_O=V_R+V_S+V_T=V_1\angle{0^\circ}+V_1\angle{-120^\circ}+V_1\angle{+120^\circ}=0\,V[/math]

כלומר אין מתח במרכז של רשת מאוזנת, למעשה דבר זה חוסך כבל או מאפשר לפחות העברה של כבל ממש דק מחברת החשמל כיוון שהזרם בו ממש נמוך, ולכן:

[math]A_0=0\,A[/math]

2.6.1.4 A1

כיוון שזוהי רשת מאוזנת, עם אותו העומס מחובר לכל פאזה, אנו מקבלים:

[math]A_1=A_2=A_3[/math]

אם נתון לנו המתח V1 מהמדידה הראשונה לדוגמא 30V, ואנו יודעים את ההתנגדות Z לדוגמא 60 אוהם, נקבל את הזרם:

[math]A_{1,2,3}=\frac{V_1}{Z}=\frac{30\,V}{60\,\Omega}=0.5\,A[/math]

נא לשים לב שהגודל של הזרמים שווה, אך זווית המופע שלהם שונה ולכן הסכום הפאזורי שלהם ייתן אפס שזה מה שקיבלנו ב-A0

2.6.1.5 מד-ההספק

חישבנו את הזרם A1 ומדדנו את המתח V1 ולכן ההספק הוא המכפלה שלהם:

[math]P=V\cdot I=V_1\cdot A_1=30\,V\cdot 0.5\,A=15\,W[/math]

2.6.2 ההספק הכללי

כיוון שזוהי מערכת סימטרית זה אומר שעל כל אחד מנגדי העומס נופל אותו העומס ומתבזבז אותו ההספק. ואם ההספק אשר נמדד בעזרת מד הספק אחד מראה W וואט זה אומר שעל כל שלושת העומסים יחד נופל פי 3. כלומר:

[math]P_T=3\cdot W [Watt][/math]

ואם נמשיך את הדוגמא הקודמת נקבל שההספק הכולל הוא:

[math]P_T=3\cdot 15=45\,W[/math]

כלומר במערכת מאוזנת לא צריך שלושה מדי הספק שיעבדו במקביל, או לחלופין להשתמש במד הספק אחד ולחבר אותו כל פעם לפאזה אחרת, אלא מספיק מד הספק אחד ומדידה אחת.

2.7 תשובה לשיטת בארלו

2.7.1 רקע

שיטה זו הומצאה ע"י הארולד בארלו מונט-איגל (אין קשר לחוק בארלו) ופורסמה במאמר (באורך של 8 פסקאות) משנת 1928 תחת השם A new method of measuring the total power in a balanced 3-phase circuit, employing only one wattmeter[2][3].

2.7.2 הצורך בשיטה

שיטה זו מאוד דומה לשיטה הקודמת בכך שמספיק מד הספק יחיד כדי לדעת את ההספק הכולל על כל שלושת הפאזות.

יתרונות:

  • לא צריך להכפיל פי 3 את ההספק המתקבל על המד הספק כמו בשיטה הקודמת אלא מקבלים ישירות את הערך האמיתי.
  • לא חייבים גישה אל קו הניוטרל כמו בשיטה הקודמת (או לחלופין במקרה סבוך יותר של חיבור-משולש ליצור נקודה מלאכותית כזו באמצעות חיבור-כוכב של שלוש עכבות זהות בין הקווים).

חסרונות:

  • צריך להשתמש בעוד שנאי (או שניים) אשר "לא עושה כלום חוץ מלשנות את המופע של המתח או הזרם ב-180°" (ציטוט מהמאמר).

2.7.3 אופן המדידה

איור 14: דיאגרמה פאזורית של שיטת בארלו למדידת הספק במערכת תלת-פאזית לא מאוזנת. האותיות A,B,C מייצגות את הפאזות R,S,T בהתאמה.

כדי למדוד את ההספק באמצעות שיטה זו מחברים מד הספק ושנאי-מתח עם יחס השנאה של 1:1 אשר תפקידו הוא להפוך את הקוטביות כפי שרואים באיור 2 כתוצאה מכך נוצרת הדיאגרמה הפאזורית כפי שרואים באיור 14 (בהמשך נשתמש בזוויות קצת שונות מבאיור, אך העיקרון זהה).

כיוון שזוהי רשת תלת-מופעית יש בכניסה את שלושת מתחי-הפאזה הבאים, לשם הנוחות נגדיר את הפאזה הראשונה ב-90°:

[math] V_{Phase} = \begin{cases} V_R = E\angle{90^\circ} \\[2ex] V_S = E\angle{-30^\circ} \\[2ex] V_T = E\angle{-150^\circ} \end{cases} [/math]

נחשב עכשיו את מתחי-הקו (הפרשים בין מתחי-הפאזה) של הנקודות בהן מחוברים המד הספק והשנאי:

[math] V_{Line} = \begin{cases} V_{SR} = V_S - V_R = E\angle{-30^\circ} - E\angle{90^\circ} = \sqrt3\cdot E\angle{-60^\circ} \\[2ex] V_{TS} = V_T - V_S = E\angle{-150^\circ} - E\angle{-30^\circ} = \sqrt3\cdot E\angle{180^\circ} = -\sqrt3\cdot E\angle{0^\circ} \\[2ex] V_{ST} = -V_{TS} = \sqrt3\cdot E\angle{(180^\circ-180^\circ)} = \sqrt3\cdot E\angle{0^\circ} \end{cases} [/math]

כאשר VTS הינו מתח הקו בין T ל-S אך שנאי-הבידוד הפך לו את המופע ונקרא לו עכשיו VST.

על סליל-המתח (VC - Voltage Coil) נופל סכום המתחים של שני מתחי-הקו (שני הסלילים מחוברים בטור), כלומר:

[math]V_{VC}=V_{SR} + V_{ST} = \sqrt3\cdot E\angle{-60^\circ} + \sqrt3\cdot E\angle{0^\circ} = 3\cdot E\angle{-30^\circ}[/math]

נא לשים לב שהזווית של המתח VVC (המחובר לסליל-המתח) זהה לזווית של מתח-הפאזה VS (המחובר לסליל-הזרם) כלומר המתח על סליל-המתח נמצא באותו המופע כמו הפאזה אליה מחובר סליל-הזרם ולכן הפרש המופע בין המתח-המשוקלל על סליל-המתח והזרם על סליל-הזרם נשמר.

וכיוון שהמד הספק מתחשב בזווית-המופע כפי שהוכחנו בסעיף הראשון אנו מקבלים את ההספק הכולל במעגל על מחוון המד הספק עצמו:

[math]P=3EIcos\phi[/math]

הערה: יש לזכור שזוהי מערכת מאוזנת ולכן כל הזרמים וכל המתחים שווים עם הפרש-מופע זהה ביניהם.

2.8 תשובה לשיטת ארון

שיטת ארון נקראת על-שם הממציא הרמן ארון אשר יצר את המעגל ארון.

זוהי שיטה המאפשרת למדוד הספק על מערכת תלת-פאזית באמצעות שני מדי-הספק בלבד כפי שרואים באיור 3 במקום שלושה (אחד לכל פאזה).

כיוון שבמערכת מאוזנת כפי שראינו בסעיף הקודם מספיק מד הספק אחד כדי לדעת את ההספק הכולל, שיטה זו עדיפה רק במידה והמערכת היא לא מאוזנת.

2.8.1 הוכחת שיטת המדידה

ההוכחות קיימות בנספח באנגלית[3] או נספח בעברית[3].

2.9 תשובה לסדר פאזות

הערה חשובה: בתוכנות סימולציה עלולים לראות את הנורות הפוכות כיוון שכשמגדירים פאזה φ שלילית למקורות AC הן יתייחסו אליה בתור פאזה מקדימה במקום מפגרת ולכן יתקבלו תוצאות שגויות (במקרה זה רצוי קודם לבדוק בסימולציה האם פאזה חיובית היא מקדימה כמו שצריך או שהיא מפגרת).

2.9.1 חיבור הפאזות לפי הסדר

באיור 4 אנו רואים מעגל למדידת סדר פאזות, המעגל מחובר בצורה של חיבור-כוכב, כאשר הנקודה האמצעית שלו מסומנת בתור V0.

אנו יודעים לפי KCL שסך הזרמים הנכנסים לצומת הוא אפס, כלומר:

משוואה 8: [math]I_R+I_S+I_T=0[/math]

כדי למצוא זרם בכל ענף, נשתמש בחוק אוהם:

[math]I_R = \frac{V_R-V_0}{R}[/math]

[math]I_S = \frac{V_S-V_0}{R}[/math]

[math]I_T = \frac{V_T-V_0}{Z_C}[/math]

לפי נתוני השאלה אנו קובעים:

[math]\omega R C = 1[/math]

כלומר העכבה של הקבל היא:

[math]Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-jR=R\cdot e^{-j\frac{\pi}{2}}[/math]

נציב את כל הזרמים במשוואה 8 ואת עכבת-הקבל ונקבל:

[math]\frac{V_R-V_0}{R} + \frac{V_S-V_0}{R} + \frac{V_T-V_0}{R\cdot e^{-j\frac{\pi}{2}}}=0[/math]

ניתן לצמצם את ה-R ולקבל:

[math]V_R-V_0 + V_S-V_0 + \frac{V_T-V_0}{e^{-j\frac{\pi}{2}}}=0[/math]

נפריד משתנים ע"י העברת V0 לאגף ימין:

[math]V_R + V_S + \frac{V_T}{e^{-j\frac{\pi}{2}}}=V_0+V_0+\frac{V_0}{e^{-j\frac{\pi}{2}}}[/math]

נציב את ההופכי של המכנה במונה:

משוואה 9: [math]V_R + V_S + V_T\cdot e^{j\frac{\pi}{2}}=2\cdot V_0+V_0\cdot e^{j\frac{\pi}{2}}[/math]

כיוון שאנו מחוברים לרשת תלת-פאזית אנו יודעים שיש הפרש של 360 מעלות חלקי 3 (2 פאי חלקי 3) בין כל הפאזות ולכן:

[math]V_R = E\cdot e^{j\frac{0\cdot\pi}{3}} = E[/math]

[math]V_S = E\cdot e^{j\frac{-2\cdot\pi}{3}}[/math]

[math]V_T = E\cdot e^{j\frac{-4\cdot\pi}{3}} = E\cdot e^{j\frac{+2\cdot\pi}{3}}[/math]

נציב את שלושת המשוואות הנ"ל במשוואה 9 ונקבל:

[math]E + E\cdot e^{j\frac{-2\cdot\pi}{3}} + E\cdot e^{j\frac{+2\cdot\pi}{3}}\cdot e^{j\frac{\pi}{2}}=V_0\cdot(2 + e^{j\frac{\pi}{2}})[/math]

נכנס אברים:

[math]E\cdot\left(1 + e^{j\frac{-2\pi}{3}} + e^{j\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{2}\right)}\right)=V_0\cdot\left(2 + e^{j\frac{\pi}{2}}\right)[/math]

נעביר את הערכים מתיאור-פולארי לתיאור-רקטנגולרי כדי שנוכל לחבר את הערכים בסוגריים:

[math]E\cdot\left(1 + cos(\frac{-2\pi}{3}) + j sin(\frac{-2\pi}{3}) + cos(\frac{7\pi}{6}) + j sin(\frac{7\pi}{6})\right)=V_0\cdot\left(2 + cos(\frac{\pi}{2}) + j sin(\frac{\pi}{2})\right)[/math]

נרשום את הערכים המספריים:

[math]E\cdot\left(1 -0.5 - \frac{\sqrt3}{2}j -\frac{\sqrt3}{2} -0.5j\right)=V_0\cdot\left(2 + 0 + j\right)[/math]

נחבר את כל המרכיבים:

[math]E\cdot\left(\frac{1-\sqrt3}{2} - \frac{1+\sqrt3}{2}j\right)=V_0\cdot\left(2 + j\right)[/math]

נחזור לתצוגה פולארית כדי שניתן יהיה לחלק את הרכיבים:

[math]E\cdot \sqrt2\cdot e^{-j\frac{7\pi}{12}}=V_0\cdot\sqrt5\cdot e^{j\cdot atan(\frac{1}{2})}[/math]

נבודד את V0 ונקבל:

[math]V_0 = E\cdot \sqrt\frac{2}{5}\cdot e^{j\left(-\frac{7\pi}{12}-atan(\frac{1}{2})\right)}[/math]

נעביר לערכים עשרוניים (ומעלות בחזקה במקום רדיאנים):

[math]V_0 = 0.632E\cdot e^{-j131.57^\circ}[/math]

עכשיו כשיש לנו את הפוטנציאל במרכז-הכוכב, נוכל לחשב את המתח הנופל על הנגד שמחובר לפאזה R:

[math]V_{RR}=V_R-V_0=E\angle{0^\circ}-0.632E\angle{-131.57^\circ} =[/math]

[math]= E - 0.632E\cdot e^{-j131.57^\circ} =[/math]

[math]= E - 0.632E\cdot(cos(-131.57^\circ)+ j sin(-131.57^\circ)) =[/math]

[math]= E\cdot(1.42 + 0.473j)[/math]

[math]|V_{RR}|=1.496\cdot E[/math]

ולחשב את המתח הנופל על הנגד שמחובר לפאזה S:

[math]V_{RS}=V_S-V_0=E\angle{-120^\circ}-0.632E\angle{-131.57^\circ} =[/math]

[math]= E\cdot e^{-j120^\circ} - 0.632E\cdot e^{-j131.57^\circ} =[/math]

[math]= E\cdot\left(cos(-120^\circ)+j sin(-120^\circ)\right) - 0.632E\cdot\left(cos(-131.57^\circ)+ j sin(-131.57^\circ)\right) =[/math]

[math]= E\cdot(-0.08 - 0.393j)[/math]

[math]|V_{RS}|=0.401\cdot E[/math]

כלומר אם נשווה את ההספקים הנופלים על שתי הנורות (אשר ממודלות ע"י הנגד R) נקבל:

[math]P_{RR}=\frac{V_{RR}^2}{R}=2.239\cdot\frac{E^2}{R}\,Watt[/math]

[math]P_{RS}=\frac{V_{RS}^2}{R}=0.161\cdot\frac{E^2}{R}\,Watt[/math]

ואם נחלק אותם אחד בשני נקבל שהיחס בין שניהם הוא:

[math]ratio=\frac{P_{RR}}{P_{RS}}=13.928[/math]

כלומר הנורה של R תאיר בערך פי 14 יותר חזק מאשר הנורה של S וזה יעיד על כך שסדר הפאזות הוא נכון.

2.9.2 חיבור הפאזות לא לפי הסדר

כאשר נחבר סדר פאזות לא נכון, כלומר נחבר למשל את VS במקום VT נקבל ערך שונה עבור V0, נעשה זאת ע"י החלפת הפאזה השנייה והשלישית במשוואה 9:

[math]V_R + V_S\cdot e^{j\frac{\pi}{2}} + V_T=2\cdot V_0+V_0\cdot e^{j\frac{\pi}{2}}[/math]

ונקבל:

[math]V_0 = 0.632E\cdot e^{-j11.57^\circ}[/math]

כלומר הזזנו ב-120 מעלות את נקודת האפס ובכך גרמנו להספקים על הנורות להתחלף.

אין אפשרות החלפה נוספת (כמו למשל הזזה גם בפאזה הראשונה) כיוון שהמעגל למדידת סדר פאזות לא יודע מה זאת פאזה R או S או T, הוא רק יודע שיש הפרשי מופע בין הפאזות, כלומר מבחינת המעגל האות שנכנס בכניסת RIN שלו הוא תמיד נחשב בתור האפס, ואילו שתי הפאזות בכניסות האחרות (SIN ו-TIN) יכולות להיות או 120 מעלות ואחרי זה 240 או קודם 240 ואחרי זה 120. כדי להבין טוב יותר נקודה זו ניתן לעיין בטבלה בסעיף הבא.

2.9.3 סיכום המעגל למדידת סדר פאזות

להלן סיכום של כל אפשרויות החיבור השונות לבדיקת סדר הפאזות.

RIN SIN TIN זוויות הפאזה זוויות פאזה מנורמלות* מצב נורה דלוקה
R S T 0° ⇒ -120° ⇒ -240° 0° ⇒ -120° ⇒ -240° OK
R T S 0° ⇒ -240° ⇒ -120° 0° ⇒ -240° ⇒ -120° NOT OK
S T R -120° ⇒ -240° ⇒ 0° 0° ⇒ -120° ⇒ -240° OK
S R T -120° ⇒ 0° ⇒ -240° 0° ⇒ -240° ⇒ -120° NOT OK
T R S -240° ⇒ 0° ⇒ -120° 0° ⇒ -120° ⇒ -240° OK
T S R -240° ⇒ -120° ⇒ 0° 0° ⇒ -240° ⇒ -120° NOT OK
  • בעמודה זוויות פאזה מנורמלות קובעים שהפאזה הראשונה היא תמיד 0 מעלות וכל השאר יחסיות אליה, בעמודה זו רואים בבירור שקיימות אך ורק שתי אפשרויות לחיבור סדר הפאזות.
  • לשים לב!
    1. אם הנורה OK דולקת: כל שתי פאזות שנחליף יהפכו את הנורה ל-NOT OK.
    2. ולהיפך, אם הנורה NOT OK דולקת: החלפה של שתי פאזות כלשהן תהפוך בחזרה את הנורה ל-OK.
    3. אם למשל נחבר מנוע תלת-פאזי, הוא יסתובב בכיוון מסויים (0 מעלות, אח"כ ‎-120° ואח"כ ‎-240°), אך אם נחליף שתי פאזות כלשהן הוא יסתובב לצד השני (0 מעלות, אח"כ ‎+120° ואח"כ ‎+240°).

3 ספרות

[4] [5] [2] [1] [3].

  1. 1.0 1.1 1.2 Smith R.J., Circuits, Devices and Systems, John Wiley, 1976, SN:001260536
  2. 2.0 2.1 2.2 F.K. Harris, Electrical Measurements, John Wiley, 1966, SN:001061450, pp. 476-477 (Methods), 506-507 (Barlow)
  3. 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 E.W Golding, F.C Widdis, Electrical Measurements and Measuring Instruments, Pitman Publishing, London, 1963, SN:001129323, pp. 767-768 (Methods), 773-774 (Aron), 776-778 (Barlow)
  4. P.R. Clement and W.C.Johnson, Electrical Engineering Science, McGraw Hill, 1960 (Malabar, Fla. 1982), SN:001331452
  5. ניצן דוד, מבוא להנדסת חשמל - חלק ב', מכלול, 1972, SN:001070586