מעגלי יישור וסינון

מתוך מעבדת מבוא בחשמל
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

לעיון בקבצים נא ללחוץ על התיקייה: תיקיית קבצים

תוכן עניינים

1 שאלות הכנה

1.1 מאפייני מעגל יישור

מהם הפרמטרים המאפיינים מעגל יישור וטיב המתח והזרם המיושרים? להגדיר כל פרמטר.


תשובה

1.2 מיישר חד-דרכי חד-מופעי

  1. תארו והסבירו את אופן הפעולה של מעגל יישור חד-דרכי, חד-מופעי בעל עומס התנגדותי.
  2. פתחו ביטויים עבור:
    • הזרם הממוצע והמתח הממוצע בעומס.
    • הזרם האפקטיבי בעומס.
    • מקדם צורת-הגל.
    • מקדם הגליות.
  3. שרטטו את המעגל בעזרת ORCAD, ומצאו בעזרת סימולציית SPICE את הפרמטרים המאפיינים מעגלי יישור כפי שמפורט בסעיף קודם.
  4. שרטטו את צורת הגל של מתח-העומס ומתח-הדיודה.


תשובה

1.3 מיישר גשר חד-מופעי

נא לחזור על הסעיף הקודם עבור מיישר גשר חד מופעי.


תשובה

1.4 מיישר חד-דרכי תלת-מופעי

נא לחזור על הסעיף הקודם עבור מיישר חד-דרכי תלת-מופעי.


תשובה

1.5 מיישר גשר תלת-מופעי

נא לחזור על הסעיף הקודם עבור מיישר גשר תלת-מופעי.


תשובה

1.6 מסנן קיבולי

  1. נא להסביר את אופן פעולתו של מסנן קיבולי במעגל ישור חד-דרכי, חד-מופעי.
  2. שרטטו את צורת המתח על פני העומס.
  3. חשבו מתח-ממוצע ומתח-אפקטיבי בעומס עבור הקבל המופיע במדגם ושלושה ערכים שונים של נגד העומס.
  4. נא לחשב את מקדם-הגליות ואת מקדם-הסינון עבור שלושת הערכים שבחרתם לעומס.
  5. שרטטו את עקום הרגולציה (VDC = F(IDC ועקום הגליות r =F(IDC).


תשובה

1.7 חישובים

לרשותך מדידות VAC ו- VDC של הפונקציה (F(t שנמדדו בעזרת מד-המתח. מצאו בעזרתו:

  1. מתח-ממוצע.
  2. מתח-אפקטיבי.
  3. מקדם-גליות.
  4. מקדם צורת-הגל.


תשובה

 

2 תשובות לדו"ח המכין

2.1 תשובה למאפייני מעגל יישור

למידע נוסף ניתן לפנות לנספחים:

2.1.1 מקדם הגליות

מקדם הגליות פשוט מציין עד כמה אות המוצא גלי, לכן כל שצריך זה למדוד באמצעות הרמ"ס את הדברים הבאים:

  1. מתח ישר באמצעות מדידת [math]V_{DC}[/math]
  2. מתח יעיל באמצעות מדידת [math]V_{AC}[/math]

ומקדם הגליות מחושב ע"י: [math]Ripple Factor=RF=\frac{V_{AC}}{V_{DC}}[/math]

2.1.2 מקדם צורת הגל

נראה שיש טעות (או בויקיפדיה או בנספח) כי לפי ויקיפדיה מקדם הצורה צריך להיות מחושב עפ"י הנוסחא (המציין W בשביל Wikipedia):

[math]FF_W=\frac{DCRMS}{ARV}[/math]

ואילו בנספח (המציין A בשביל Appendix):

[math]FF_A=\frac{DCRMS}{DC}=\frac{\sqrt{V_{AC}^2+V_{DC}^2}}{V_{DC}}[/math]

מקבלים תוצאות ממש שונות בשני המקרים, אם למשל נחשב גל סינוס נקבל:

  • [math]FF_W=\frac{RMS}{ARV}=\frac{\frac{V_m}{\sqrt{2}}}{\frac{2}{\pi}\cdot V_m}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}=1.11[/math]

אך במקרה השני נקבל את מה שרשום בנספח:

  • [math]FF_A=\frac{RMS}{DC}=\frac{V\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}{0}=\infty[/math]

כלומר אם יש לנו מעגל שמוציא סינוס או גל מיושר (סינוס בערך מוחלט) - נקבל את אותה התוצאה לפי מה שרשום בויקיפדיה, אך לפי הנספח נקבל תוצאות שונות כפי שההיגיון אומר, אך עדיין צריך לבדוק באמת מה התשובה הנכונה.

בכל-מקרה, אם נרצה לחשב את מקדם צורת הגל כאשר כבר השגנו בסעיף הקודם את מקדם הגליות, ניתן לעשות זאת עפ"י הנוסחא הבאה:

[math]Form Factor=FF=\sqrt{RF^2+1}=[/math]

נציב את מקדם הגליות מהסעיף הקודם, ונקבל:

[math]FF=\sqrt{\left(\frac{V_{AC}}{V_{DC}}\right)^2+1}=\sqrt{\frac{V_{AC}^2}{V_{DC}^2}+1}[/math]

נהפוך את ה-1 לשבר ונקבל:

[math]FF=\sqrt{\frac{V_{AC}^2}{V_{DC}^2}+\frac{V_{DC}^2}{V_{DC}^2}}=\sqrt{\frac{V_{AC}^2+V_{DC}^2}{V_{DC}^2}}[/math]

נוציא את המכנה מהשורש ונגיע לבסוף אל הנוסחא המוכרת לנו מתחילת הסעיף:

[math]FF=\frac{\sqrt{V_{AC}^2+V_{DC}^2}}{V_{DC}}[/math]

בנוסף, אנו יודעים שהמשקף תנודות מחשב את המונה אוטומטית וקורא לו:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{V_{AC}^2+V_{DC}^2}[/math]

ואילו השם של המתח הממוצע אצלו נקרא:

[math]V_{Avg}=V_{DC}[/math]

לכן בעזרת המשקף תנודות לא צריך להתאמץ יותר מדי וניתן לחשב את מקדם צורת הגל עפ"י הנוסחא:

[math]FF=\frac{V_{DCRMS}}{V_{Avg}}[/math]

2.2 תשובה למיישר חד-דרכי חד-מופעי

איור 1: מעגל יישור חד-מופעי חד-דרכי
איור 2: תגובת מעגל יישור חד-מופעי חד-דרכי. המעגל קיים באיור 1

את המעגל ניתן לראות באיור 1, במעגל קיימת דיודה אשר אינה מעבירה מתחים שליליים, ולכן אם נאלץ מקור סינוסואידלי במבוא נקבל גל פועם כפי שרואים באיור 2.

2.2.1 מתח וזרם ממוצעים

נחשב את המתח הממוצע עפ"י הנוסחא:

[math]V_{AVG}=V_{DC}=\frac{1}{T}\int _0^T v(t)dt=\frac{1}{T}\int _0^T V_m\cdot sin(\omega t)dt[/math]

אך נשים לב שהגבול שלנו הוא לא בין 0 ל-T אלא בין 0 לחצי T כיוון שיש גל סינוס רק בחצי מחזור הראשון של כל מחזור, ולכן:

[math]V_{DC}=\frac{1}{T}\int _0^\frac{T}{2} v(t)dt=\frac{1}{T}\int _0^\frac{T}{2} V_m\cdot sin(\omega t)dt[/math]

כאשר Vm זוהי משרעת אות הכניסה הסינוסואידלי, נפתור את האינטגרל:

[math]V_{DC}=\frac{V_m}{T}\cdot\frac{-cos(\omega t)}{\omega}\Bigg\vert _0^\frac{T}{2}=\frac{V_m^2}{T}\cdot\frac{-1}{\omega}\cdot\left(cos\left(\omega \frac{T}{2}\right)-cos(0)\right)[/math]

את הערך של ω ניתן לכתוב באופן הבא:

משוואה 1: [math]\omega=2\pi f=2\pi\cdot\frac{1}{T}=\frac{2\pi}{T}\,[/math]

נציב ונקבל:

[math]V_{DC}=\frac{V_m}{T}\cdot\frac{-T}{2\pi}\cdot\left(cos\left(\frac{2\pi}{T}\cdot\frac{T}{2}\right)-1\right)[/math]

נצמצם את כל המקומות עם T:

[math]V_{DC}=\frac{-V_m}{2\pi}\cdot\left(cos(\pi)-1\right)=\frac{-V_m}{2\pi}\cdot\left(-1-1\right)=\frac{-V_m}{2\pi}\cdot\left(-2\right)[/math]

ונקבל את המתח-הממוצע במעגל יישור חד-מופעי חד-דרכי:

[math]V_{DC}=\frac{V_m}{\pi}[/math]

את הזרם נחשב עפ"י חוק אוהם:

[math]I_{DC}=\frac{V_{DC}}{R}=\frac{V_m}{\pi R}[/math]

2.2.2 מתח וזרם יעילים

את המתח היעיל (אפקטיבי - RMS) נחשב עפ"י הנוסחא:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T{\Big[V(t)\Big]^2}dt}[/math]

כיוון שגל-הסינוס פעיל רק בחצי המחזור הראשון נשנה את הגבולות בהתאם:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^\frac{T}{2}\Big[V_m sin(\omega t)\Big]^2dt}[/math]

כיוון ש-Vm הוא קבוע ניתן להוציא אותו מחוץ לאינטגרל (ולא לשכוח להעלות אותו בריבוע):

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{V_m^2}{T}\int_0^\frac{T}{2}\Big[sin(\omega t)\Big]^2dt}[/math]

נציב את הזהות לצמצום חזקה:

[math]sin^2\theta=\frac{1-cos2\theta}{2}[/math]

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{V_m^2}{T}\int_0^\frac{T}{2}\frac{1-cos\left(2\omega t\right)}{2}dt}=\sqrt{\frac{V_m}{2T}\int_0^\frac{T}{2}\Big[1-cos\left(2\omega t\right)\Big]dt}[/math]

נפתור את האינטגרל:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{V_m^2}{2T}\Big[t-\frac{sin\left(2\omega t\right)}{\omega}\Big]\Bigg\vert_0^\frac{T}{2}}[/math]

נציב את גבולות האינטגרל:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{V_m^2}{2T}\left[\frac{T}{2}-\frac{sin\left(2\omega \frac{T}{2}\right)}{\omega}-\left(0-\frac{sin\left(2\omega 0\right)}{\omega}\right)\right]}[/math]

הביטוי בסוגריים הימניים הוא אפס, ונציב שוב את ω ממשוואה 1:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{V_m^2}{2T}\left[\frac{T}{2}-\frac{sin\left(2\frac{2\pi}{T} \frac{T}{2}\right)}{\frac{2\pi}{T}}\right]}[/math]

נצמצם את האיברים הזהים ונסדר קצת את המשוואה:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{V_m^2}{2T}\left[\frac{T}{2}-\frac{T\cdot sin\left(2\pi\right)}{2\pi}\right]}[/math]

סינוס שני פאי הוא אפס:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{V_m^2}{2T}\left[\frac{T}{2}-0\right]}=\sqrt{\frac{V_m^2}{2T}\frac{T}{2}}=\sqrt{\frac{V_m^2}{2}\frac{1}{2}}[/math]

ונקבל את המתח-היעיל במעגל יישור חד-מופעי חד-דרכי:

[math]V_{DCRMS}=\frac{V_m}{2}[/math]

ואילו הזרם היעיל עפ"י חוק אוהם:

[math]I_{DCRMS}=\frac{V_{DCRMS}}{R}=\frac{V_m}{2R}[/math]

יש לזכור שערך זה כולל בתוכו גם את מרכיב ה-DC בהתאם ליחס:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{V_{AC}^2+V_{DC}^2}[/math]

בזמן שהרמ"ס אינו מסוגל למדוד את VDCRMS אלא רק את VAC.

2.2.3 מקדם צורת הגל

לפי הנוסחא נציב את שני הערכים שמצאנו בשני הסעיפים הקודמים:

[math]F.F.=\frac{V_{DCRMS}}{V_{DC}}=\frac{\frac{V_m}{2}}{\frac{V_m}{\pi}}[/math]

ונקבל את מקדם צורת-הגל עבור מיישר חד-מופעי חד-דרכי:

[math]F.F.=\frac{\pi}{2}=1.57[/math]

2.2.4 מקדם הגליות

לפי הנוסחא נציב את מקדם צורת-הגל מהסעיף הקודם:

[math]R.F.=\sqrt{F.F.^2-1}=\sqrt{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-1}[/math]

ונקבל את מקדם-הגליות עבור מיישר חד-מופעי חד-דרכי:

[math]R.F.=1.21[/math]

2.2.5 סימולציה

איור 3: מעגל יישור חד-מופעי חד-דרכי באורקד

באיור 3 רואים את המעגל אשר אוייר באורקד.

איור 4: הגדרות הריצה באורקד עבור מעגל יישור חד-מופעי חד-דרכי
איור 5: חישוב ערכי הסימולציה באמצעות מטלאב. (קוד הגרף)

עם הפרמטרים הבאים בסימולציה כפי שרואים באיור 4:

  • זמן המחזור הוא 20ms (בתדר של 50Hz) ולכן דילגנו על מחזור אחד כדי להעלים תופעות מעבר, כלומר זמן תחילת הסימולציה הוא 20ms.
  • זמן הריצה הוא 60ms כלומר רואים שני מחזורים שלמים (ללא המחזור הראשון שדילגנו עליו) כדי שהחישובים יהיו כמה שיותר מדוייקים ולא ייתחשבו במחזור חלקי.
  • בהגדרת הסימולציה הפרמטר Maximum step size כוון ל-1μ כדי לקבל כמה שיותר נתונים בשביל שהחישובים יהיו מדוייקים, כתוצאה מכך התקבלו 40,000 נקודות.

התוצאות יוצאו לקובץ CSV והוכנסו למטלב אשר חישב את כל הפרמטרים כפי שרואים באיור 5, להלן הערכים שיצאו ושאמורים לצאת:

שם הערך חישוב הערך ערך רצוי ערך מצוי
מתח מירבי Vm max(VR) 10V *9.3121V
מתח-ממוצע VDC [math]\frac{V_m}{\pi}[/math] [math]\frac{9.3121}{\pi}=2.96\,V[/math] 2.8632V
מתח-יעיל VDCRMS [math]\frac{V_m}{2}[/math] [math]\frac{9.3121}{2}=4.65605\,V[/math] 4.5761V
מקדם-הצורה FF [math]\frac{V_{DCRMS}}{V_{DC}}[/math] [math]\frac{\pi}{2}=1.57[/math] [math]\frac{4.5761}{2.8632}=1.598[/math]
מקדם-הגליות RF [math]R.F.=\sqrt{F.F.^2-1}[/math] [math]R.F.=\sqrt{1.57^2-1}=1.21[/math] [math]R.F.=\sqrt{1.598^2-1}=1.246[/math]
  • הערה: ערך המתח הרצוי הוא 10V אך מפל-המתח על הדיודה עומד על 0.7V ולכן מתח המוצא היה רק 9.3V


2.2.6 צורות הגל

איור 6: תגובת מעגל יישור חד-מופעי חד-דרכי באורקד

באיור 6 רואים:

  1. בצבע אדום את מתח-העומס אשר קיים רק במחזורים חיוביים כיוון שרק אז המעגל פעיל.
  2. בצבע ירוק את מתח-הדיודה, רואים שכאשר המתח חיובי - הדיודה הופכת לקצר ולכן המתח עליה הוא אפס, בזמן שבמחזורים-שליליים התנגדות הדיודה היא אינסופית ולכן כל מפל-המתח הוא עליה.


2.3 תשובה למיישר גשר חד-מופעי

ישנם שני סוגי מעגלי יישור חד-מופעי דו-דרכי:

2.3.1 מעגל יישור חד-מופעי דו-דרכי עם שנאי בעל סנף-מרכזי

איור 7: מעגל יישור חד-מופעי דו-דרכי עם סנף-מרכזי
איור 8: תגובה למעגל יישור חד-מופעי דו-דרכי

באיור 7 רואים מעגל יישור חד-מופעי דו-דרכי עם שנאי בעל סנף-מרכזי (center tap), הוא נקרא דו-דרכי (Full Wave) כיוון שהוא מעביר זרם בשני חצאי המחזור: החיובי והשלילי כפי שרואים באיור 8.

המיישר מוזן משני מתחים סינוסיים:

[math]V_{AB}=V_{s1}[/math]

[math]V_{CB}=V_{s2}=-V_{s1}[/math]

מתחים סינוסיים אלו מתקבלים ממתח הרשת באמצעות שנאי (המשמש גם לקביעת Vm), אשר הליפוף שלו כולל סנף אמצעי (center tap).

בחצי המחזור בו Vs1 חיובי מוליכה הדיודה D1 והזרם i1 זורם במסלול הבא:

  1. A
  2. D1
  3. RL
  4. B
  5. וחוזר ל-A שוב.

בתקופה זו הדיודה D2 חסומה עקב Vs2<0.

בחצי המחזור השני בו Vs2 חיובי מוליכה הדיודה D2 והזרם i2 זורם במסלול:

  1. C
  2. D2
  3. RL
  4. B
  5. וחוזר ל-C שוב.

בתקופה זו הדיודה D1 חסומה עקב Vs1<0.

יש לשים לב שהזרם i1 והזרם i2 זורמים דרך נגד העומס RL באותו כיוון, מלמעלה למטה באיור 7, לכן בכל מחזור של מתח-הכניסה הזרם בנגד R מכיל שני חצאי מחזורים של גל-סינוסי בעלי אותה קוטביות.

יתרון: מספיק רק שתי דיודות (אשר עלותן גבוהה).

חסרון: דורש שעל השניוני של השנאי יהיה מתח פי 2 גבוה יותר מאשר הראשוני, כלומר צריך התקן להכפלת מתח במבוא.

2.3.2 מעגל יישור חד-מופעי דו-דרכי עם גשר דיודות

איור 9: מעגל יישור חד-מופעי עם גשר-דיודות

באיור 9 רואים מעגל יישור חד-מופעי דו-דרכי עם גשר-דיודות, הוא נקרא דו-דרכי (Full Wave) כיוון שהוא מעביר זרם בשני חצאי המחזור: החיובי והשלילי כפי שרואים באיור 8.

בחצי המחזור בו מתח-הכניסה חיובי (הפוטנציאל הגבוה נמצא על הפלוס של המקור המסומן באיור 9) מקבלים:

  1. הפוטנציאל החיובי גורם לדיודה D4 להיפתח.
  2. הזרם שיוצא מדיודה D4 לא יכול להמשיך דרך דיודה D1 כיוון שהיא הפוכה ולכן הזרם ממשיך דרך נגד RL.
  3. לבסוף הזרם מגיע לדיודה D3 אשר מצידה השני יש פוטנציאל שלילי ולכן היא נפתחת. לעומת זאת דיודה D2 הפוכה לפוטנציאלים ולכן היא נסגרת.
  4. לסיכום: מעגל זרימת הזרם הוא: מקור (+), דיודה D4, נגד עומס RL, דיודה D3, מקור (-).

בחצי המחזור השני בו מתח-הכניסה שלילי (הפוטנציאל הנמוך נמצא על הפלוס של המקור המסומן באיור 9) מקבלים:

  1. הפוטנציאל החיובי במינוס של המקור (החלק התחתון) פותח את דיודה D1.
  2. הזרם שיוצא מדיודה D1 לא יכול להמשיך דרך דיודה D4 כיוון שהיא הפוכה ולכן הזרם ממשיך דרך נגד RL.
  3. לבסוף הזרם מגיע לדיודה D2 אשר מצידה השני יש פוטנציאל שלילי (החלק העליון של המקור הוא שלילי הפעם) ולכן היא נפתחת. לעומת זאת הדיודה D3 הפוכה לפוטנציאלים (יש לה פוטנציאל חיובי בצד השלילי שלה - בקתודה) ולכן היא נסגרת.
  4. לסיכום: המעגל לזרימת זרם הוא: מקור (-), דיודה D1, נגד עומס RL, דיודה D2, מקור (+).

2.3.3 מתח וזרם ממוצעים

תוצאות החישובים זהות עבור שני המיישרים הדו-דרכיים שהוזכרו לעיל.

[math]V_{AVG}=V_{DC}=\frac{1}{T}\int_0^T v(t)dt[/math]

הפעם יש לנו חזרה על האות עבור כל חצי מחזור, לכן נחשב את המתח הממוצע רק עבור חצי מחזור (ועבור כל שאר חצאי המחזורים ולמעשה עבור כל הגל):

[math]V_{DC}=\frac{1}{\frac{T}{2}}\int_0^{\frac{T}{2}} v(t)dt=\frac{2}{T}\int_0^{\frac{T}{2}} V_m sin(\omega t)dt[/math]

כאשר Vm זוהי משרעת אות הכניסה הסינוסואידלי והיא קבועה ולכן ניתן להוציא אותה מחוץ לאינטגרל, נפתור את האינטגרל:

[math]V_{DC}=\frac{2\cdot V_m}{T}\int_0^{\frac{T}{2}} sin(\omega t)dt=\frac{-2\cdot V_m}{T} \frac{cos(\omega t)}{\omega}\Bigg\vert_0^{\frac{T}{2}}[/math]

נציב את הגבולות:

[math]V_{DC}=\frac{-2\cdot V_m}{\omega T} \left[cos\left(\omega \frac{T}{2}\right)-cos\left(\omega\cdot0\right)\right][/math]

נציב את ω ונקבל:

[math]V_{DC}=\frac{-V_m}{\pi} \left[cos\left(\frac{2\pi}{T} \frac{T}{2}\right)-cos(0)\right]=\frac{-V_m}{\pi} \left[cos(\pi)-cos(0)\right]=\frac{-V_m}{\pi} (-1-1)[/math]

ונקבל את המתח-הממוצע במעגל יישור חד-מופעי דו-דרכי (Full Wave) גם עבור סנף-מרכזי וגם עבור גשר-דיודות:

[math]V_{DC}=\frac{2V_m}{\pi}[/math]

את הזרם נחשב עפ"י חוק אוהם:

[math]I_{DC}=\frac{V_{DC}}{R}=\frac{2V_m}{\pi R}[/math]

2.3.4 מתח וזרם יעילים

את המתח היעיל (אפקטיבי - RMS) נחשב עפ"י הנוסחא:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T{\Big[V(t)\Big]^2}dt}[/math]

כיוון שגל-הסינוס זהה בשני חצאי המחזור נעשה את החישוב רק עבור חצי המחזור הראשון:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{1}{\frac{T}{2}}\int_0^\frac{T}{2}\Big[V_m sin(\omega t)\Big]^2dt}[/math]

ונקבל את הנוסחא הבאה:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{2}{T}\int_0^\frac{T}{2}\Big[V_m sin(\omega t)\Big]^2dt}=\sqrt2\cdot\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^\frac{T}{2}\Big[V_m sin(\omega t)\Big]^2dt}[/math]

נוסחא זו, למעט המקדם של שורש 2, היא זהה לחלוטין לנוסחא של מיישר חד-מופעי חד-דרכי אשר פיתחנו בסעיף הקודם, ולכן נציב את התוצאה הסופית שקיבלנו בסעיף הקודם:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt2\cdot V_{DCRMS,HalfWave}=\sqrt2\cdot\frac{V_m}{2}[/math]

ונקבל את המתח-היעיל במעגל יישור חד-מופעי דו-דרכי:

[math]V_{DCRMS}=\frac{V_m}{\sqrt2}[/math]

לשים לב שנוסחא זו זהה עבור כל גל סינוס, בין אם מיושר או לא.

את הזרם נחשב עפ"י חוק אוהם:

[math]I_{DCRMS}=\frac{V_{DCRMS}}{R}=\frac{V_m}{\sqrt2 R}[/math]

2.3.5 מקדם צורת הגל

לפי הנוסחא נציב את שני הערכים שמצאנו בשני הסעיפים הקודמים:

[math]F.F.=\frac{V_{DCRMS}}{V_{DC}}=\frac{\frac{V_m}{\sqrt2}}{\frac{2V_m}{\pi}}[/math]

ונקבל את מקדם צורת-הגל עבור מיישר חד-מופעי דו-דרכי:

[math]F.F.=\frac{\pi}{2\sqrt2}=1.11[/math]

2.3.6 מקדם הגליות

לפי הנוסחא נציב את מקדם צורת-הגל מהסעיף הקודם:

[math]R.F.=\sqrt{F.F.^2-1}=\sqrt{\left(\frac{\pi}{2\sqrt2}\right)^2-1}=\sqrt{\frac{\pi^2}{8}-1}[/math]

ונקבל את מקדם-הגליות עבור מיישר חד-מופעי דו-דרכי:

[math]R.F.=0.483[/math]

2.3.7 סימולציה

איור 10: מעגל יישור חד-מופעי דו-דרכי באורקד
איור 11: חישוב ערכי הסימולצייה באמצעות מטלאב (קוד הגרף)

באיור 10 רואים את המעגל אשר אוייר באורקד.

כמעט עם אותם הפרמטרים כפי שעשינו בסימולציה הקודמת אותם רואים באיור 4, רק שהפעם התחלנו בזמן 0 וסיימנו לאחר שני מחזורים ב-40ms

התוצאות יוצאו לקובץ CSV והוכנסו למטלב אשר חישב את כל הפרמטרים כפי שרואים באיור 11, להלן הערכים שיצאו ושאמורים לצאת:

שם הערך חישוב הערך ערך רצוי ערך מצוי
מתח מירבי Vm max(VR) 10V *8.6321V
מתח-ממוצע VDC [math]\frac{2\cdot V_m}{\pi}[/math] [math]\frac{2\cdot8.6321}{\pi}=5.495\,V[/math] 5.1203V
מתח-יעיל VDCRMS [math]\frac{V_m}{\sqrt2}[/math] [math]\frac{8.6321}{\sqrt2}=6.104\,V[/math] 5.8912V
מקדם-הצורה FF [math]\frac{V_{DCRMS}}{V_{DC}}[/math] [math]F.F.=\frac{\pi}{2\sqrt2}=1.11[/math] [math]\frac{5.8912}{5.1203}=1.1505[/math]
מקדם-הגליות RF [math]R.F.=\sqrt{F.F.^2-1}[/math] [math]R.F.=\sqrt{1.11^2-1}=0.483[/math] [math]R.F.=\sqrt{1.1505^2-1}=0.569[/math]
  • הערה: ערך המתח הרצוי הוא 10V אך מפל-המתח על כל דיודה עומד על 0.7V וכיוון שיש שתי דיודות פעילות בכל חצי מחזור מתח-המוצא היה רק 8.6V


2.3.8 צורות הגל

איור 12: תגובת מעגל יישור חד-מופעי דו-דרכי באורקד

באיור 12 רואים את סימולציית אורקד:

  • בצבע צהוב ובצבע וורוד רואים את שתי הדיודות D3 ו-D4 בהתאמה, שתיהן פעילות יחד במחזורים החיוביים של אות-המקור וסוגרות מעגל עם RL.
  • בצבע אדום ובצבע סגול רואים את שתי הדיודות D1 ו-D2 בהתאמה, שתיהן פעילות יחד במחזורים השליליים של אות-המקור וסוגרות מעגל עם RL.
  • בצבע ירוק רואים את מתח העומס RL אשר תמיד פעיל - גם במחזורים חיוביים וגם במחזורים שליליים, המתח-עליו נמוך ממתח הדיודות כיוון שכששתי הדיודות פעילות הן לוקחות בערך 1.4V לעצמן ומשאירות לנגד רק 8.6V מתוך מתח-המקור של 10V.
  • לשים לב! דיודה כן פעילה זה אומר שיש עליה מפל מתח קטן של 0.7V, בזמן שדיודה לא פעילה זה אומר שיש עליה מפל מתח-גבוה כמעט באותו הגובה של המקור פחות 0.7V של הדיודה השנייה.


2.4 תשובה למיישר חד-דרכי תלת-מופעי

איור 13: מעגל יישור תלת-מופעי חד-דרכי
איור 14: תגובת מעגל יישור תלת-מופעי חד-דרכי. המעגל קיים באיור 13.

את המעגל ניתן לראות באיור 13, במעגל קיימות שלוש דיודות - אחת לכל פאזה, אשר אינן מעבירות מתחים שליליים ולכן אם נאלץ מקור סינוסואידלי במבוא נקבל מתח-ישר עם אדווה כפי שרואים באיור 14.

אופן הפעולה מתואר להלן[1]:

  1. ישנן שלוש פאזות למעגל היישור אשר מוזנות ממקור מתח תלת-פאזי, כל מופע הוא בהפרש של 120°.
  2. בכל שליש מחזור יש רק מקור אחד (מתוך השלושה) שהוא דומיננטי, נגדיר את זווית המופע ההתחלתית שלו בתור φ0. באיור 14 לדוגמא הזווית ההתחלתית של מופע המוצא שווה 30°.
  3. באיור 14 רואים שהפאזה הראשונה (R) מתרחשת בין זוויות φ0 עד φ0+120°, במקרה זה רק הדיודה D1 באיור 13 פועלת.
  4. באיור 14 רואים שהפאזה השנייה (S) מתרחשת בין זוויות φ0+120° עד φ0+240°, במקרה זה רק הדיודה D2 באיור 13 פועלת.
  5. באיור 14 רואים שהפאזה השלישית (T) מתרחשת בין זוויות φ0+240° עד φ0+360° (או פשוט עד φ0+0°=φ0), במקרה זה רק הדיודה D3 באיור 13 פועלת.

2.4.1 מתח וזרם ממוצעים

נחשב את המתח הממוצע עפ"י הנוסחא:

[math]V_{AVG}=V_{DC}=\frac{1}{T}\int _0^T v(t)dt=\frac{1}{T}\int _0^T V_m\cdot sin(\omega t)dt[/math]

נשים לב באיור 14 שבכל מחזור של 2π קיימים שלושה מחזורים זהים של שלושת המופעים השונים, לכן מספיק לחשב את המתח-הממוצע רק עבור שליש מחזור:

[math]V_{DC}=\frac{1}{\frac{T}{3}}\int_{\varphi_0}^{\varphi_0+\frac{T}{3}} v(t)dt[/math]

נגדיר שהזווית ההתחלתית שלנו היא φ0=30° כפי שרואים באיור 14:

[math]V_{DC}=\frac{3}{T}\int_\frac{\pi}{6}^{\frac{\pi}{6}+\frac{T}{3}} V_m\cdot sin(\omega t)dt[/math]

כאשר Vm הינו משרעת אות-הכניסה, לכן הוא קבוע שניתן להוציא אותו מחוץ לאינטגרל:

[math]V_{DC}=\frac{3\cdot V_m}{T}\int_\frac{\pi}{6}^{\frac{\pi}{6}+\frac{T}{3}} sin(\omega t)dt=\frac{3\cdot V_m}{T}\cdot\frac{-cos(\omega t)}{\omega}\Bigg\vert_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi+2T}{6}[/math]

נציב את גבולות האינטגרל:

[math]V_{DC}=\frac{-3\cdot V_m}{\omega T}\left[cos\left(\omega\cdot\frac{\pi+2T}{6}\right)-cos\left(\omega\cdot\frac{\pi}{6}\right)\right][/math]

נציב את התדירות-הזוויתית ω:

[math]V_{DC}=\frac{-3\cdot V_m}{\frac{2\pi}{T} T}\left[cos\left(\frac{2\pi}{T}\cdot\frac{\pi+2T}{6}\right)-cos\left(\frac{2\pi}{T}\cdot\frac{\pi}{6}\right)\right][/math]

נצמצם קצת:

[math]V_{DC}=\frac{-3\cdot V_m}{2\pi}\left[cos\left(\frac{\pi}{T}\cdot\frac{\pi+2T}{3}\right)-cos\left(\frac{\pi^2}{3T}\right)\right][/math]

נציב את זמן המחזור T=2π ונקבל:

[math]V_{DC}=\frac{-3\cdot V_m}{2\pi}\left[cos\left(\frac{\pi}{2\pi}\cdot\frac{\pi+2\cdot2\pi}{3}\right)-cos\left(\frac{\pi^2}{3\cdot2\pi}\right)\right][/math]

נצמצם קצת כדי שנוכל לחשב ללא מחשבון:

[math]V_{DC}=\frac{-3\cdot V_m}{2\pi}\left[cos\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi+4\pi}{3}\right)-cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\right]=\frac{-3\cdot V_m}{2\pi}\left[cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)-cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\right][/math]

נציב את ערכי הקוסינוסים:

[math]V_{DC}=\frac{-3\cdot V_m}{2\pi}\left[-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\right]=\frac{-3\cdot V_m}{2\pi}\left[-2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right]=\frac{-3\cdot V_m}{2\pi}\left[-\sqrt3\right][/math]

ונקבל את המתח-הממוצע במיישר תלת-מופעי חד-דרכי:

[math]V_{DC}=\frac{3\sqrt3 V_m}{2\pi}=0.827V_m[/math]

ואילו הזרם הממוצע עפ"י חוק אוהם:

[math]I_{DC}=\frac{V_{DC}}{R}=\frac{3\sqrt3 V_m}{2\pi R}=\frac{0.827V_m}{R}[/math]

לשים לב! הזרם הממוצע דרך הדיודה הוא רק שליש מהזרם הממוצע דרך הנגד כיוון שכל דיודה פעילה רק בשליש מן המחזור בזמן שהנגד תמיד פעיל.

2.4.2 מתח וזרם יעילים

את המתח היעיל (אפקטיבי - RMS) נחשב עפ"י הנוסחא:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T{\Big[V(t)\Big]^2}dt}[/math]

כמו קודם, יש לנו שלושה תתי-מחזורים בתוך כל מחזור T=2π ולכן נציב את הגבולות בהתאם לאיור 14 בין 30° ל-150°:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{1}{\frac{T}{3}}\int_\frac{\pi}{6}^\frac{5\pi}{6}{\Big[V_m sin(\omega t)\Big]^2}dt}[/math]

כאשר Vm הינו משרעת אות-הכניסה, לכן הוא קבוע שניתן להוציא אותו מחוץ לאינטגרל:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{3\cdot V_m^2}{T}\int_\frac{\pi}{6}^\frac{5\pi}{6}{\Big[sin(\omega t)\Big]^2}dt}[/math]

נציב את הזהות לצמצום חזקה:

[math]sin^2\theta=\frac{1-cos2\theta}{2}[/math]

ונקבל:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{3\cdot V_m^2}{T}\int_\frac{\pi}{6}^\frac{5\pi}{6}{\frac{1-cos\left(2\cdot\omega t\right)}{2}}dt}[/math]

נוציא את המכנה 2 מחוץ לאינטגרל ונפתור את האינטגרל:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{3\cdot V_m^2}{2T}\left[t-\frac{sin(2\omega t)}{2\omega}\right]\Bigg\vert_\frac{\pi}{6}^\frac{5\pi}{6}}[/math]

נציב את הגבולות:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{3\cdot V_m^2}{2T}\left[\frac{5\pi}{6}-\frac{sin(2\omega \frac{5\pi}{6})}{2\omega}-\left(\frac{\pi}{6}-\frac{sin(2\omega \frac{\pi}{6})}{2\omega}\right)\right]}[/math]

נחשב את התדירות הזוויתית ω:

[math]\omega=2\pi f=2\pi\cdot\frac{1}{T}=\frac{2\pi}{T}[/math]

נציב את זמן-המחזור T=2π:

[math]\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1[/math]

לכן את ω ניתן למחוק מהמשוואה ונציב בנוסף את T=2π:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{3\cdot V_m^2}{2\cdot2\pi}\left[\frac{5\pi}{6}-\frac{sin(2\frac{5\pi}{6})}{2}-\left(\frac{\pi}{6}-\frac{sin(2\frac{\pi}{6})}{2}\right)\right]}[/math]

נצמצם איברים ונפתח את הסוגריים הפנימיים:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{3\cdot V_m^2}{2\cdot2\pi}\left[\frac{5\pi}{6}-\frac{sin(\frac{5\pi}{3})}{2}-\frac{\pi}{6}+\frac{sin(\frac{\pi}{3})}{2}\right]}[/math]

נציב את הערכים של הסינוסים:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{3\cdot V_m^2}{2\cdot2\pi}\left[\frac{4\pi}{6}-\frac{\frac{-\sqrt3}{2}}{2}+\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{2}\right]}[/math]

נסדר קצת:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{3\cdot V_m^2}{4\pi}\left[\frac{4\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt3}{4}\right]}=\sqrt{\frac{3\cdot V_m^2}{4\pi}\left[\frac{2\pi}{3}+2\cdot\frac{\sqrt3}{4}\right]}[/math]

נעשה מכנה משותף בתוך הסוגריים:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{3\cdot V_m^2}{4\pi}\left[\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2}\right]}=\sqrt{\frac{3\cdot V_m^2}{4\pi}\left[\frac{4\pi}{6}+\frac{3\sqrt3}{6}\right]}[/math]

נוציא את Vm מחוץ לשורש ונפתח את הסוגריים:

[math]V_{DCRMS}=V_m\sqrt{\frac{12\pi+9\sqrt3}{24\pi}}[/math]

ונקבל את המתח-היעיל במיישר תלת-מופעי חד-דרכי:

[math]V_{DCRMS}=V_m\sqrt{\frac{4\pi+3\sqrt3}{8\pi}}=0.841V_m[/math]

הזרם היעיל מחושב עפ"י חוק אוהם:

[math]I_{DCRMS}=\frac{V_{DCRMS}}{R}=\frac{V_m}{R}\sqrt{0.5+\frac{3\sqrt3}{8\pi}}=\frac{0.841V_m}{R}[/math]

2.4.3 מקדם צורת הגל

לפי הנוסחא נציב את שני הערכים שמצאנו בשני הסעיפים הקודמים:

[math]F.F.=\frac{V_{DCRMS}}{V_{DC}}=\frac{V_m\sqrt{0.5+\frac{3\sqrt3}{8\pi}}}{\frac{3\sqrt3 V_m}{2\pi}}=\frac{2\pi}{3\sqrt3}\sqrt{0.5+\frac{3\sqrt3}{8\pi}}[/math]

נכניס את המקדם של השורש לתוך השורש ע"י העלאתו בריבוע:

[math]F.F.=\sqrt{\frac{4\pi^2}{9\cdot3}\left(0.5+\frac{3\sqrt3}{8\pi}\right)}=\sqrt{\frac{2\pi^2}{27}+\frac{4\pi^2\cdot3\sqrt3}{27\cdot8\pi}}=\sqrt{\frac{2\pi^2}{3^2\cdot3}+\frac{\pi\cdot\sqrt3}{3^2\cdot2}}[/math]

ונקבל את מקדם צורת-הגל עבור מיישר תלת-מופעי חד-דרכי:

[math]F.F.=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2\pi^2}{3}+\frac{\sqrt3\pi}{2}}=1.017[/math]

2.4.4 מקדם הגליות

לפי הנוסחא נציב את מקדם צורת-הגל מהסעיף הקודם:

[math]R.F.=\sqrt{F.F.^2-1}=\sqrt{1.017^2-1}[/math]

ונקבל את מקדם-הגליות עבור מיישר תלת-מופעי חד-דרכי:

[math]R.F.=0.183[/math]

2.4.5 סימולציה

איור 15: מעגל יישור תלת-מופעי חד-דרכי באורקד
איור 16: הגדרות הסימולציה באורקד עבור שני מחזורי ריצה
איור 17: חישוב ערכי הסימולציה באמצעות מטלאב. נא לשים לב שגרף זה אינו מתחיל באפס! (קוד הגרף)

באיור 15 רואים את המעגל אשר אוייר באורקד.

באיור 16 רואים את הגדרות הריצה באורקד עבור המעגל יישור תלת-מופעי חד-דרכי:

  1. זמן ריצה 40ms - שני מחזורים כאשר תדר הרשת הוא 50Hz.
  2. דיוק של 1μs אשר יוצר 40,000 נקודות (40ms חלקי 1μs) אשר יעלו את דיוק הסימולציה.

התוצאות יוצאו לקובץ CSV והוכנסו למטלב אשר חישב את כל הפרמטרים כפי שרואים באיור 17, להלן הערכים שיצאו ושאמורים לצאת:

שם הערך חישוב הערך ערך רצוי ערך מצוי
מתח מירבי Vm max(VR) 10V *9.3121V
מתח-ממוצע VDC [math]0.827V_m[/math] [math]0.827\cdot9.3121=7.701\,V[/math] 7.5939V
מתח-יעיל VDCRMS [math]0.841V_m[/math] [math]0.841\cdot9.3121=7.829\,V[/math] 7.7405V
מקדם-הצורה FF [math]\frac{V_{DCRMS}}{V_{DC}}[/math] [math]1.017[/math] [math]\frac{7.7405}{7.5939}=1.017[/math]
מקדם-הגליות RF [math]\sqrt{F.F.^2-1}[/math] [math]\sqrt{1.017^2-1}=0.183[/math] [math]\sqrt{1.017^2-1}=0.183[/math]
  • הערה: ערך המתח הרצוי הוא 10V אך מפל-המתח על הדיודה עומד על 0.7V ולכן מתח המוצא היה רק 9.3V


2.4.6 צורות הגל

איור 18: תגובת מעגל יישור תלת-מופעי חד-דרכי באורקד

באיור 18 רואים את סימולציית אורקד:

  • בצבע ירוק רואים את מתח הדיודה DR אשר פעילה בתחום של 30° עד 150°.
  • בצבע אדום רואים את מתח הדיודה DS אשר פעילה בתחום של 150° עד 270°.
  • בצבע סגול רואים את מתח הדיודה DT אשר פעילה בתחום של 270° עד 390° (או עד 30°).
  • בצבע צהוב רואים את מתח העומס RL אשר תמיד פעיל ואף-פעם לא מתקרב אל האפס כפי שראינו במעגלי היישור החד-מופעיים.
  • לשים לב! דיודה כן פעילה זה אומר שיש עליה מפל מתח קטן של 0.7V, בזמן שדיודה לא פעילה זה אומר שיש עליה מפל מתח-גבוה כמעט באותו הגובה של מתח-הקו (במקרה זה 10V·√3) פחות 0.7V של הדיודה הפעילה.


2.5 תשובה למיישר גשר תלת-מופעי

איור 19: מעגל יישור תלת-מופעי דו-דרכי
איור 20: תגובת מעגל יישור תלת-מופעי דו-דרכי, המעגל קיים באיור 19.
איור 21: תגובת מיישר תלת-פאזי דו-דרכי כולל המתחים השלובים, אך הפעם לעומת איור 20 יש כמה הבדלים, א': רואים את המתחים השלובים (כפול שורש 3), ב': רואים את המתחים ההופכיים (עבור המחזורים השליליים), ג': רוחב ציר הזמן כאן הוא פי 2 קטן יותר כדי שהתמונה תהיה ברורה יותר.

את המעגל ניתן לראות באיור 19, במעגל קיימות שש דיודות - שתיים לכל פאזה, אשר כמו במעגל החד-מופעי דו-דרכי הן מעבירות גם מתחים שליליים ולכן אם נאלץ מקור סינוסואידלי במבוא נקבל מתח-ישר עם אדווה כפי שרואים באיור 20.

אופן הפעולה מתואר להלן[1]:

  1. כדי להבין טוב יותר את פעולת היישור נצטרך לצייר את מתח-המקור בצורה קצת שונה כפי שרואים באיור 21:
    • מציירים את המתח השלוב - המתח בין כל שתי פאזות, בין R ל-S, בין S ל-T, ובין T בחזרה ל-R, וכאשר מדובר ברשת תלת-פאזית - צריך להכפיל פי ‎√3 את משרעת הגל כפי שלמדנו/נלמד בניסוי 6.
    • מציירים את המתחים השלובים ההופכיים עבור המחזורים השליליים אותם מעגל זה אינו מסנן בניגוד למעגל החד-דרכי. במקרה זה בסך-הכל הופכים סימן לגלים ולכן הם מוזזים ב-180° כפי שרואים באיור 21.
    • וחשוב לציין שהפעם הציר האופקי קצר פי שתיים מהצירים באיורים הקודמים כדי לרווח את הגלים ושנוכל לראותם טוב יותר.
  2. באיור 21 רואים טוב יותר את הסיבה למתח-המוצא המיושר הגבוה - עקב כך שהמתח הוא מתח-שלוב, כלומר מתח בין שתי פאזות בהפרש של 120° ולכן מבחינה פאזורית הוא גדל פי שורש 3.
  3. באיור 21 רואים שהפעם יש לנו 6 תתי-מחזורים בכל מחזור של T=2π, ובכל תת-מחזור כזה פועלות אך ורק שתי דיודות, נרשום את ששת המחזורים ואת הדיודות הפעילות בטבלה להלן:
חלוקה של 6 תתי-המחזורים באיור 21 עם הדיודות מאיור 19
המתח השלוב הפעיל תחום זוויות המופע D6 D5 D4 D3 D2 D1 הסבר
VTS 0°≤φ<60° זרם TS זורם מפאזה T דרך D3, הנגד RL, הדיודה D5 וחוזר דרך פאזה S
VRS 60°≤φ<120° זרם RS זורם מפאזה R דרך D1, הנגד RL, הדיודה D5 וחוזר דרך פאזה S
VRT 120°≤φ<180° זרם RT זורם מפאזה R דרך D1, הנגד RL, הדיודה D6 וחוזר דרך פאזה T
VST 180°≤φ<240° זרם ST זורם מפאזה S דרך D2, הנגד RL, הדיודה D6 וחוזר דרך פאזה T
VSR 240°≤φ<300° זרם SR זורם מפאזה S דרך D2, הנגד RL, הדיודה D4 וחוזר דרך פאזה R
VTR 300°≤φ<360° זרם TR זורם מפאזה T דרך D3, הנגד RL, הדיודה D4 וחוזר דרך פאזה R

2.5.1 מתח וזרם ממוצעים

נחשב את המתח הממוצע עפ"י הנוסחא:

[math]V_{AVG}=V_{DC}=\frac{1}{T}\int _0^T v(t)dt=\frac{1}{T}\int _0^T V_m\cdot sin(\omega t)dt[/math]

נשים לב באיור 20 שבכל מחזור של 2π קיימים שישה מחזורים זהים של שלושת המופעים השונים ושלושת ההופכיים שלהם, לכן מספיק לחשב את המתח-הממוצע רק עבור שישית מחזור:

[math]V_{DC}=\frac{1}{\frac{T}{6}}\int_{\varphi_0}^{\varphi_0+\frac{T}{6}} v(t)dt[/math]

אך אם נסתכל טוב באיור 20, נראה שבחצי הראשון של שישית המחזור T הוא הכי גדול אך בחצי השני של שישית המחזור R גדול יותר מ-T, לכן מספיק לחשב את המחצית של שישית המחזור כלומר רק את החלק השנים-עשר של המחזור:

[math]V_{DC}=\frac{1}{\frac{T}{2\cdot6}}\int_{\varphi_0}^{\varphi_0+\frac{T}{2\cdot6}} v(t)dt[/math]

נגדיר שהזווית ההתחלתית של הגל המיושר היא φ0=0° כפי שרואים באיור 20 ובאיור 21:

[math]V_{DC}=\frac{12}{T}\int_0^{0+\frac{T}{12}} v(t)dt[/math]

עכשיו נשאלת השאלה מהו v(t)? למי שעשה את ניסוי 6 התשובה היא פשוטה (מתח הרשת כפול √3), אך אם נרצה לחשבו בעצמנו, נשים לב שכל פעימה (מתוך ה-6) היא הפרש המתחים בין שתי פאזות עוקבות, כלומר במקרה של הפאזה הראשונה TS נציב את המופע הנכון שזה +120° עבור פאזה T ואילו עבור פאזה S זה -120°:

[math]v(t)=V_m\cdot sin\left(\omega t+\frac{2\pi}{3}\right)-V_m\cdot sin\left(\omega t-\frac{2\pi}{3}\right)=V_m\cdot\left[sin\left(\omega t+\frac{2\pi}{3}\right)-sin\left(\omega t-\frac{2\pi}{3}\right)\right][/math]

נציב את v(t) ונקבל:

[math]V_{DC}=\frac{12}{T}\int_0^{\frac{T}{12}} V_m\cdot\left[sin\left(\omega t+\frac{2\pi}{3}\right)-sin\left(\omega t-\frac{2\pi}{3}\right)\right]dt[/math]

כאשר Vm הינו משרעת אות-הכניסה, לכן הוא קבוע שניתן להוציא אותו מחוץ לאינטגרל:

[math]V_{DC}=\frac{12\cdot V_m}{T}\int_0^{\frac{T}{12}} \left[sin\left(\omega t+\frac{2\pi}{3}\right)-sin\left(\omega t-\frac{2\pi}{3}\right)\right]dt[/math]

נפתור את האינטגרל:

[math]V_{DC}=\frac{12\cdot V_m}{T} \left[\frac{-cos\left(\omega t+\frac{2\pi}{3}\right)}{\omega}-\frac{-cos\left(\omega t-\frac{2\pi}{3}\right)}{\omega}\right]\Bigg\vert_0^{\frac{T}{6}}=\frac{-12\cdot V_m}{\omega T} \left[cos\left(\omega t+\frac{2\pi}{3}\right)-cos\left(\omega t-\frac{2\pi}{3}\right)\right]\Bigg\vert_0^{\frac{T}{12}}[/math]

נציב את התדירות-הזוויתית ω:

[math]V_{DC}=\frac{-12\cdot V_m}{\frac{2\pi}{T} T} \left[cos\left(\frac{2\pi}{T} t+\frac{2\pi}{3}\right)-cos\left(\frac{2\pi}{T} t-\frac{2\pi}{3}\right)\right]\Bigg\vert_0^{\frac{T}{12}}[/math]

נצמצם קצת:

[math]V_{DC}=\frac{-12\cdot V_m}{2\pi} \left[cos\left(\frac{2\pi t}{T}+\frac{2\pi}{3}\right)-cos\left(\frac{2\pi t}{T}-\frac{2\pi}{3}\right)\right]\Bigg\vert_0^{\frac{T}{12}}[/math]

נציב את הגבולות:

[math]V_{DC}=\frac{-6\cdot V_m}{\pi} \left\{cos\left(\frac{2\pi\frac{T}{12}}{T}+\frac{2\pi}{3}\right)-cos\left(\frac{2\pi\frac{T}{12}}{T}-\frac{2\pi}{3}\right)-\left[cos\left(\frac{2\pi\cdot0}{T}+\frac{2\pi}{3}\right)-cos\left(\frac{2\pi\cdot0}{T}-\frac{2\pi}{3}\right)\right]\right\}[/math]

נצמצם קצת כדי שנוכל לחשב ללא מחשבון:

[math]V_{DC}=\frac{-6\cdot V_m}{\pi} \left\{cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}\right)-cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi}{3}\right)-\left[cos\left(0+\frac{2\pi}{3}\right)-cos\left(0-\frac{2\pi}{3}\right)\right]\right\}[/math]

נסדר קצת:

[math]V_{DC}=\frac{-6\cdot V_m}{\pi} \left\{cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)-cos\left(-\frac{3\pi}{6}\right)-\left[cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)-cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right]\right\}[/math]

נציב את ערכי הקוסינוסים:

[math]V_{DC}=\frac{-6\cdot V_m}{\pi} \left\{-\frac{\sqrt3}{2}-0-\left[-0.5-(-0.5)\right]\right\}=\frac{-6\cdot V_m}{\pi} \left\{-\frac{\sqrt3}{2}-\left[0\right]\right\}=\frac{-6\cdot V_m}{\pi} \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)[/math]

ונקבל את המתח-הממוצע במיישר תלת-מופעי דו-דרכי:

[math]V_{DC}=\frac{3\sqrt3\cdot V_m}{\pi}=1.654V_m[/math]

ואילו הזרם הממוצע עפ"י חוק אוהם:

[math]I_{DC}=\frac{V_{DC}}{R}=\frac{3\sqrt3 V_m}{\pi R}=\frac{1.654V_m}{R}[/math]

לשים לב! הזרם הממוצע דרך הדיודה הוא רק שליש מהזרם הממוצע דרך הנגד כיוון שכל דיודה פעילה רק בשליש מן המחזור בזמן שהנגד תמיד פעיל.

הערה חשובה: כאשר אנו עוסקים ברשת תלת-פאזית לפעמים יותר נוח לדבר במושגים של מתח שלוב אשר מסומן באות L מלשון Line, ולכן נבטא את המתח-הממוצע באופן הבא:

[math]V_{DC}=\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\cdot\frac{3\sqrt3\cdot V_m}{\pi}=\frac{3\cdot V_L}{\pi}=0.955V_L[/math]

2.5.2 מתח וזרם יעילים

את המתח היעיל (אפקטיבי - RMS) נחשב עפ"י הנוסחא:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T{\Big[V(t)\Big]^2}dt}[/math]

ניקח את המתח של הפרש הפאזות T ו-S כפי שמצאנו קודם:

[math]v(t)=V_m\cdot\left[sin\left(\omega t+\frac{2\pi}{3}\right)-sin\left(\omega t-\frac{2\pi}{3}\right)\right][/math]

רק שהפעם כדי לחסוך בחישובים, נצמצם את הפרש הפאזות לפי הזהות להפרש סינוסים:

[math]\sin \theta - \sin \varphi = 2 \cos\left({\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi\over 2}\right) \; [/math]

נציב ונקבל:

[math]v(t)=V_m\cdot\left[2\cdot cos\left(\omega t+\frac{2\pi}{3}+\omega t-\frac{2\pi}{3} \over 2\right)\cdot sin\left(\omega t+\frac{2\pi}{3}-\left(\omega t-\frac{2\pi}{3}\right) \over 2 \right)\right][/math]

נצמצם קצת:

[math]v(t)=2V_m\cdot\left[cos\left(2\omega t \over 2\right)\cdot sin\left(2\frac{2\pi}{3} \over 2 \right)\right][/math]

נציב את ערך הסינוס אשר אינו מכיל את הגורם t בתוכו:

[math]v(t)=2V_m\cdot\left[cos\left(\omega t\right)\cdot sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right]=2V_m\cdot\left[cos\left(\omega t\right)\cdot \frac{\sqrt3}{2}\right][/math]

ונקבל את מה שכתוב בניסוי 6:

[math]v(t)=\sqrt3 V_m\cdot cos\left(\omega t\right)[/math]

נציב את v(t) בנוסחת המתח-היעיל:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T{\Big[\sqrt3 V_m\cdot cos\left(\omega t\right)\Big]^2}dt}[/math]

כמו קודם, נציב את הגבולות שמצאנו קודם בין 0 לבין החלק השנים-עשר:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{1}{\frac{T}{12}}\int_0^\frac{T}{12}{\Big[\sqrt3 V_m\cdot cos\left(\omega t\right)\Big]^2}dt}[/math]

כאשר Vm (והמקדם שלו) הינו משרעת אות-הכניסה, לכן הוא קבוע שניתן להוציא אותו מחוץ לאינטגרל:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{12\cdot\left(\sqrt3 V_m\right)^2}{T}\int_0^\frac{T}{12}{\Big[cos\left(\omega t\right)\Big]^2}dt}[/math]

נציב את הזהות לצמצום חזקה:

[math]cos^2\theta=\frac{1+cos2\theta}{2}[/math]

ונקבל:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{36\cdot V_m^2}{T}\int_0^\frac{T}{12}\left(\frac{1+cos\left(2\omega t\right)}{2}\right)dt}[/math]

נוציא את המכנה 2 מחוץ לאינטגרל ונפתור את האינטגרל:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{18\cdot V_m^2}{T}\int_0^\frac{T}{12}\left[1+cos\left(2\omega t\right)\right]dt}=\sqrt{\frac{18\cdot V_m^2}{T}\left[t+\frac{sin\left(2\omega t\right)}{2\omega}\right]\Bigg\vert_0^\frac{T}{12}}[/math]

נציב את הגבולות:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{18\cdot V_m^2}{T}\left\{\frac{T}{12}+\frac{sin\left(2\omega \frac{T}{12}\right)}{2\omega}-\left[0+\frac{sin\left(2\omega\cdot0\right)}{2\omega}\right]\right\}}[/math]

נסדר קצת ונמחק את הסינוס עם זווית אפס בצד ימין:

[math]V_{DCRMS}=\sqrt{\frac{18\cdot V_m^2}{T}\left\{\frac{T}{12}+\frac{sin\left(\omega \frac{T}{6}\right)}{2\omega}\right\}}[/math]

נחשב את התדירות הזוויתית ω:

[math]\omega=2\pi f=2\pi\cdot\frac{1}{T}=\frac{2\pi}{T}[/math]

נציב אותה ונוציא את Vm מחוץ לשורש:

[math]V_{DCRMS}=V_m\sqrt{\frac{18}{T}\left\{\frac{T}{12}+\frac{sin\left(\frac{2\pi}{T} \frac{T}{6}\right)}{2\frac{2\pi}{T}}\right\}}[/math]

נצמצם את מה שאפשר:

[math]V_{DCRMS}=V_m\sqrt{\frac{18}{T}\left\{\frac{T}{12}+\frac{T\cdot sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{4\pi}\right\}}[/math]

נפתח את הסוגריים הפנימיים ונצמצם איברים:

[math]V_{DCRMS}=V_m\sqrt{\frac{18}{12}+\frac{18\cdot sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{4\pi}}=V_m\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{9\cdot sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{2\pi}}[/math]

נציב את הסינוס:

[math]V_{DCRMS}=V_m\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{9\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{2\pi}}[/math]

ונקבל את המתח-היעיל במיישר תלת-מופעי דו-דרכי:

[math]V_{DCRMS}=V_m\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{9\sqrt3}{4\pi}}=1.655V_m[/math]

הזרם היעיל מחושב עפ"י חוק אוהם:

[math]I_{DCRMS}=\frac{V_{DCRMS}}{R}=\frac{V_m}{R}\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{9\sqrt3}{4\pi}}=\frac{1.655V_m}{R}[/math]

הערה חשובה: כאשר אנו עוסקים ברשת תלת-פאזית לפעמים יותר נוח לדבר במושגים של מתח שלוב אשר מסומן באות L מלשון Line, ולכן נבטא את המתח-היעיל באופן הבא:

[math]V_{DCRMS}=\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\cdot V_m\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{9\sqrt3}{4\pi}}=0.956V_L[/math]

2.5.3 מקדם צורת הגל

לפי הנוסחא נציב את שני הערכים שמצאנו בשני הסעיפים הקודמים:

[math]F.F.=\frac{V_{DCRMS}}{V_{DC}}=\frac{V_m\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{9\sqrt3}{4\pi}}}{\frac{3\sqrt3\cdot V_m}{\pi}}=\frac{\pi\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{9\sqrt3}{4\pi}}}{3\sqrt3}=\frac{\pi}{3}\sqrt{\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{3}{2}+\frac{9\sqrt3}{4\pi}\right)}[/math]

ונקבל את מקדם צורת-הגל עבור מיישר תלת-מופעי דו-דרכי:

[math]F.F.=\frac{\pi}{3}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt3}{4\pi}}=1.00088[/math]

2.5.4 מקדם הגליות

לפי הנוסחא נציב את מקדם צורת-הגל מהסעיף הקודם:

[math]R.F.=\sqrt{F.F.^2-1}=\sqrt{\left(\frac{\pi}{3}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt3}{4\pi}}\right)^2-1}=\sqrt{\frac{\pi^2}{9}\left(\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt3}{4\pi}\right)-1}[/math]

ונקבל את מקדם-הגליות עבור מיישר תלת-מופעי דו-דרכי:

[math]R.F.=0.04197[/math]

2.5.5 סימולציה

איור 22: מעגל יישור תלת-מופעי דו-דרכי (גשר) באורקד
איור 23: הגדרות הסימולציה באורקד עבור מחזור וחצי של ריצה
איור 24: חישוב ערכי הסימולציה באמצעות מטלאב. נא לשים לב שגרף זה אינו מתחיל באפס! (קוד הגרף)

באיור 22 רואים את המעגל אשר אוייר באורקד.

באיור 23 רואים את הגדרות הריצה באורקד עבור המעגל יישור תלת-מופעי דו-דרכי:

  1. זמן ריצה 30ms - מחזור וחצי כאשר תדר הרשת הוא 50Hz.
  2. דיוק של 1μs אשר יוצר 30,000 נקודות (30ms חלקי 1μs) אשר יעלו את דיוק הסימולציה.

התוצאות יוצאו לקובץ CSV והוכנסו למטלב אשר חישב את כל הפרמטרים כפי שרואים באיור 24, להלן הערכים שיצאו ושאמורים לצאת:

שם הערך חישוב הערך ערך רצוי ערך מצוי
מתח מירבי Vm max(VR) √3·10V *15.8895V
מתח-ממוצע VDC [math]0.955V_L[/math] [math]0.955\cdot15.8895=15.1734\,V[/math] 15.1145V
מתח-יעיל VDCRMS [math]0.956V_L[/math] [math]0.956\cdot15.8895=15.1867\,V[/math] 15.1302V
מקדם-הצורה FF [math]\frac{V_{DCRMS}}{V_{DC}}[/math] [math]1.00088[/math] [math]\frac{15.1302}{15.1145}=1.00104[/math]
מקדם-הגליות RF [math]\sqrt{F.F.^2-1}[/math] [math]\sqrt{1.00088^2-1}=0.04197[/math] [math]\sqrt{1.00104^2-1}=0.04559[/math]
  • הערה: ערך המתח הרצוי (השלוב) הוא √3·10=17.32V אך מפל-המתח על כל אחת משתי הדיודות הפעילות עומד על 0.7V ולכן מתח המוצא היה נמוך בכ-1.4V

2.5.6 צורות הגל

איור 25: תגובת מעגל יישור תלת-מופעי דו-דרכי באורקד

באיור 25 רואים את סימולציית אורקד, כיוון שיש כאן יותר מדי גרפים ניעזר בטבלה כדי לפרט את המתרחש.

  • לשים לב! דיודה כן פעילה זה אומר שיש עליה מפל מתח קטן של 0.7V, בזמן שדיודה לא פעילה זה אומר שיש עליה מפל מתח-גבוה כמעט באותו הגובה של מתח-הקו (במקרה זה 10V·√3) פחות 0.7V של הדיודה הפעילה באותו החוג.
חלוקה של 6 תתי-המחזורים באיור 25 עם הדיודות מאיור 22
המתח השלוב הפעיל תחום זוויות המופע D6 D5 D4 D3 D2 D1 הסבר
VRS 30°≤φ<90° זרם RS זורם מפאזה R דרך D1, הנגד RL, הדיודה D5 וחוזר דרך פאזה S
VRT 90°≤φ<150° זרם RT זורם מפאזה R דרך D1, הנגד RL, הדיודה D6 וחוזר דרך פאזה T
VST 150°≤φ<210° זרם ST זורם מפאזה S דרך D2, הנגד RL, הדיודה D6 וחוזר דרך פאזה T
VSR 210°≤φ<270° זרם SR זורם מפאזה S דרך D2, הנגד RL, הדיודה D4 וחוזר דרך פאזה R
VTR 270°≤φ<330° זרם TR זורם מפאזה T דרך D3, הנגד RL, הדיודה D4 וחוזר דרך פאזה R
VTS 330°≤φ<30° זרם TS זורם מפאזה T דרך D3, הנגד RL, הדיודה D5 וחוזר דרך פאזה S


2.6 תשובה למסנן קיבולי

התשובה קיימת בסעיף 7.3.4 בנספח.

יש לשים לב שהסימונים שם קצת שונים, והאות טאו מציינת את מקדם-הגליות:

[math]\tau=R.F.[/math]

כמו-כן, כדי לשלוף את המתח-היעיל VAC יש להשתמש בנוסחא:

[math]R.F.=\frac{V_{AC}}{V_{DC}}[/math]

כאשר VDC ו-RF נתונים בנספח המוזכר כאן.


כדי להבין כיצד לשלוף את עקום-הרגולציה ניתן לעיין בסעיף מדידת עקום הרגולציה במהלך הניסוי.


להבנה מעמיקה יותר בנושא וויסות, ניתן לקרוא על הנושא בספר של מילמן[2] עמ' 596 (סעיף 20-1) את הנושא Regulation.

2.7 תשובה לחישובים

2.7.1 מתח-ממוצע

נתון מתח ה-VDC - זהו המתח הממוצע של הגל (אשר אינו מתחשב ב-AC).

2.7.2 מתח-אפקטיבי

נתון מתח ה-VAC - זהו המתח-היעיל של הגל (אשר מתעלם מה-DC).

2.7.3 מקדם-גליות

כפי שכתבנו קודם ניתן לשלוף את מקדם-הגליות משני הערכים הקודמים שמדדנו:

[math]RF=\frac{V_{AC}}{V_{DC}}[/math]

2.7.4 מקדם צורת-הגל

כפי שכתבנו קודם ניתן לשלוף אותו עפ"י הנוסחא:

[math]FF=\frac{\sqrt{V_{AC}^2+V_{DC}^2}}{V_{DC}}[/math]

3 ספרות

[1][2][3]

  1. 1.0 1.1 1.2 יאן לרון, אלקטרוניקת הספק, חלק א', האוניברסיטה הפתוחה, 2011, 📖 Permalink 🔗: 002154929
  2. 2.0 2.1 J. Millman and C. C. Halkias, Electronic Devices and Circuits, McGraw Hill, 1967, 📖 Permalink 🔗: 000501044, pp. 592-616
  3. Smith R.J., Circuits, Devices and Systems, John Wiley, 1992, 📖 Permalink 🔗: 001260536