הכרת מכשירי מדידה חלק ב

מתוך מעבדת מבוא בחשמל
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

לעיון בנספחים נא ללחוץ על התיקייה: תיקיית קבצים

תוכן עניינים

1 שאלות הכנה

1.1 הפרש מופע

נא להסביר כיצד ניתן למדוד הפרש-פאזה בין שני אותות סינוסיים בתדר זהה.

  • לציין שתי שיטות (ראו נספח).
  • הציעו מערך ליצירת הפרש פאזה וציירו מעגל.
  • ביחרו רכיבים, חשבו את גודלם של הרכיבים.
  • שרטטו גרף המתאר את שינוי הפרשי הפאזה עם שינוי תדר המקור - Φ = Φ(f).

תשובה

1.2 ייצוג ספקטראלי

עיינו במקורות, חשבו וציירו את הייצוג הספקטראלי (מישור-התדר) של האותות הבאים:

  • אות סינוס.
  • אות מרובע.
  • אות משולש.
  • אות שן-מסור.


כאשר נתון שאמפליטודת האותות 1V RMS , תדר האותות 1 kHz

תשובה

1.3 עיוות הרמוני כולל

  1. הגדירו THD.
  2. רישמו את המשוואה המדויקת לחישובו.
  3. כיצד תחשבו THD אם ידוע VRMS, והרמוניה ראשונה בלבד.

תשובה

1.4 חישוב מעשי של THD

1.4.1 סדרת-דפקים

איור 1: סדרת-דפקים בעלת שני מחזורים עם דיוטי סייקל של 20% ומתח RMS של 1V. (קוד הגרף)

נא לחשב במדוייק את ערך ה-THD עבור הסִדְרַת דְּפָקִים (בלועזית: רכבת-פולסים - Pulse train) כפי שרואים באיור 1 אשר מורכבת בהתאם לטור הבא:

[math]V=A\cdot d+\frac{2A}{\pi}\big[sin(\pi d)cos(\omega_0t)+\frac{1}{2}sin(2\pi d)cos(2\omega_0t)+\frac{1}{3}sin(3\pi d)cos(3\omega_0t)+\ldots\big][/math]

כאשר:

  • האות A מייצגת את משרעת האות.
  • האות d מייצגת את הדיוטי סייקל של כל פולס.

תשובה

1.4.2 מיישר חצי-גל

איור 2: חצי-גל סינוס מיושר בעל שני-מחזורים ומתח RMS של 1V. (קוד הגרף)

נא לחשב במדוייק את ערך ה-THD עבור חצי-גל הסינוס המיושר (בו נעסוק בניסוי 8) כפי שרואים באיור 2 אשר מורכב בהתאם לטור הבא:

[math]V=\frac{A}{\pi}+\frac{A}{2}sin(\omega_0t)-\frac{2A}{\pi}\big[\frac{cos(2\omega_0t)}{3}+\frac{cos(4\omega_0t)}{15}+\frac{cos(6\omega_0t)}{35}+\ldots\big][/math]

כאשר האות A מייצגת את משרעת האות.

תשובה

1.5 אופיין זרם-מתח

איור 3: מדידת אופיין זרם-מתח באמצעות משקף-תנודות
  1. נא להסביר כיצד לבדוק אופיין זרם-מתח של נגד ושל דיודה באמצעות המעגל באיור 3.
  2. מה תפקידו של הנגד R וכיצד תבחרו את גודלו?
  3. מדוע מחוברת האדמה במקום הנראה באיור 3?
  4. מדוע לא מתאים המעגל המוצע לבדיקת אופיין קבל?
  5. הסבירו את התפקיד של שנאי-הבידוד במעגל זה. הערות בנושא שנאי-הבידוד ראו בעמוד הראשון של הנספח.

תשובה

 

2 תשובות לדו"ח מכין

2.1 תשובה להפרש מופע

2.1.1 תשובה לשיטות למציאת הפרש מופע

מידע נוסף בנושא קיים בנספח.

ולהתנסות מעשית בנושא ניתן לבדוק את הכלי ההידודי למדידת הפרש מופע.


מדידת הפרש מופע ניתן לעשות בשתי שיטות:

2.1.1.1 שיטת ציר הזמן

איור 4: מדידת הפרש מופע בציר הזמן (קוד הגרף)

כפי שרואים באיור 4 קיימים שני גלי סינוס בעלי תדר זהה ומודדים את המרחק ביניהם.

לדוגמא קיימים שני הגלים הבאים בעלי הפרש מופע φ (האות היוונית פי קטנה):

[math] \begin{cases} f(t)=A\cdot sin(\omega_1 t-\varphi_1) \\[2ex] g(t)=B\cdot sin(\omega_2 t-\varphi_2) \end{cases} [/math]

אם לשני הגלים יש תדר שונה זה יהיה קשה לדעת את הפרש המופע ביניהם כיוון שהם כל-הזמן ינועו אחד ביחס לשני על מסך המשקף תנודות, לכן חייבים תדרים זהים:

[math]\omega_1=\omega_2=\omega[/math]

בנוסף, אם אנו בודקים את הפרש המופע של גל אחד ביחס לגל השני, ניתן לקבוע באופן שרירותי שאחד הגלים הוא נקודת הייחוס שלנו ולכן הפרש המופע שלו הוא אפס, לדוגמא:

[math]\varphi_1=0[/math]

מכאן יוצאת מערכת משוואות פשוטה יותר:

[math] \begin{cases} f(t)=A\cdot sin(\omega t) \\[2ex] g(t)=B\cdot sin(\omega t-\varphi) \end{cases} [/math]

כאשר הפעם φ מציין את הפרש המופע בין שני הגלים. אך כשמסתכלים על הגרפים באיור 4 אנו יכולים למדוד רק את הזמן, לכן אנו צריכים לבדוק נקודות אשר קל לזהות אותן מבחינה גרפית, יש לבחור רק את אחת מן האפשרויות ולא לערבב ביניהן:

  1. נקודות חציית-האפס, כלומר חיתוך עם ציר ה-X:
    • כאשר עוברים מערך שלילי לחיובי.
    • כאשר עוברים מערך חיובי לשלילי.
  2. נקודות קיצון של מינימום או מקסימום:
    • השיאים: f(t)=A, g(t)=B.
    • השפלים: f(t)=-A, g(t)=-B.

נבדוק למשל את האפשרות הראשונה של הזמן (t) בו שתי הפונקציות התאפסו כפי המסומן בצבע מָגֶנְטָה באיור 4, נגדיר שבזמן t כלשהו הפונקציה f התאפסה, ולאחר תזוזה בזמן של ΔT גם הפונקציה g התאפסה:

משוואה 1:   [math] \begin{cases} f(t)=0 \\[2ex] g(t+\Delta T)=0 \end{cases} [/math]

כדי שהפונקציה f תהיה שווה לאפס, צריך שהזווית תהיה שווה למחזורים שלמים של פאי:

משוואה 2: [math]\omega t=n\cdot\pi[/math]

ואילו כדי שהפונקציה g תהיה שווה לאפס, צריך להציב את הזמן שלה בפונקציה המקורית:

[math]g(t+\Delta T)=B\cdot sin\big(\omega(t+\Delta T)-\varphi\big)[/math]

ולהשוות למחזורים שלמים של פאי כיוון שרק שם הסינוס מתאפס:

[math]\omega(t+\Delta T)-\varphi=n\cdot\pi[/math]

[math]\omega t+\omega\Delta T-\varphi=n\cdot\pi[/math]

נציב את משוואה 2 ונקבל:

[math]n\cdot\pi+\omega\Delta T-\varphi=n\cdot\pi[/math]

נצמצם ונקבל:

[math]\omega\Delta T-\varphi=0[/math]

כלומר הקשר בין הפרש-הזמנים והפרש-המופע הוא:

[math]\omega\Delta T=\varphi[/math]

נציב את הזהות:

[math]\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}[/math]

ונקבל:

[math]\frac{2\pi}{T}\Delta T=\varphi[/math]

נבודד את הזמנים לחוד ואת הזוויות לחוד:

[math]\frac{\Delta T}{T}=\frac{\varphi}{2\pi}[/math]

כלומר קיבלנו שוויון בין היחסים הבאים:

סימון תיאור
[math]\frac{\Delta T}{T}[/math] היחס בין התזוזה-בזמן (ΔT) לזמן-המחזור (T)
[math]\frac{\varphi}{2\pi}[/math] היחס בין הפרש-המופע (φ) לזווית של מחזור-שלם ברדיאנים (2π)
[math]\frac{\varphi}{360^\circ}[/math] היחס בין הפרש-המופע (φ) לזווית של מחזור-שלם במעלות (360°)

כלומר, כדי לחשב את הפרש-המופע ברדיאנים:

[math]\varphi=\frac{\Delta T}{T}\cdot2\pi[/math]

וכדי לחשב את הפרש-המופע במעלות:

[math]\varphi=\frac{\Delta T}{T}\cdot360^\circ[/math]


בנוסף נשים לב לעובדה שכאשר כותבים את g עם זווית מקבלים את הפרש-המופע:

[math]g(t)=B\cdot sin(\omega t-\varphi)[/math]

אך כאשר מוציאים מכנה משותף של התדר (הזוויתי) ב-g מקבלים את התזוזה-האופקית בזמן:

[math]g(t)=B\cdot sin\bigg(\omega\Big(t-\frac{\varphi}{\omega}\Big)\bigg)=B\cdot sin\Big(\omega(t-\Delta T)\Big)[/math]

כלומר בסט-המשוואות הבא, האות C מייצגת זווית (הזזת-מופע) אך האות D מייצגת זמן (תזוזה אופקית בזמן):

[math] \begin{cases} u(t)=A\cdot sin(\omega t-C) \\[2ex] v(t)=B\cdot sin\Big(\omega(t-D)\Big) \end{cases} [/math]

2.1.1.2 שיטת ליסאז'ו

איור 5: עקומות ליסאז'ו בקפיצות של 30° (קוד הגרף)

בשיטה זו מודדים את המתחים של הגלים אחד ביחס לשני, שיטה זה מאפשרת מדידה של גלים בתדרים שונים, אך למען הפשטות נשתמש בה רק עבור תדרים זהים.

הפעם אין ציר זמן, אלא ציר אחד (X או Y) מורכב מהגל הראשון והציר השני מורכב מהגל השני.

באיור 5 ניתן לראות דיאגרמה אופיינית כאשר התדרים ומשרעות הגלים זהות אך הפרש המופע הוא בקפיצות של 30°.

למידע נוסף וחישובים נא לפנות אל הנספח.

ולהתנסות מעשית בנושא ניתן לבדוק את הכלי ההידודי למדידת הפרש מופע.


2.1.1.3 כלי אינטראקטיבי להבנה מעשית של שליפת הפרש-מופע

זהו כלי הִדּוּדִי (אינטראקטיבי) להתנסות מעשית בשליפת הפרש-מופע בין שני גלים.

  1. ניתן לשנות את התדר, המשרעת וזווית-המופע.
  2. ניתן להזיז את הסמנים (בצבע כתום).


התנאים הבאים מתקיימים במדידה זו:

  1. הנוסחא של שני הגלים היא: V(t)=A·sin(2πft+φ)+C
  2. התדר שלהם חייב להיות זהה אחרת הפרש-המופע ישתנה כל הזמן: f1=f2
  3. המשרעת (תנופה) שלהם יכולה להיות שונה: A1≠A2 or A1=A2


נא לשים לב לדברים הבאים:

  1. כאשר מודדים קבל או סליל, הפרש-המופע בין המתח והזרם של הרכיב הוא תמיד 90° ולכן הצורה היחידה שתתקבל היא עיגול.
  2. כאשר מודדים נגד טהור, הפרש-המופע הוא תמיד 0° כלומר תמיד יש יחס ישר בין המתח על הנגד והזרם העובר דרכו ולכן נקבל קו ישר. ניתן לראות זאת גם כאשר הפרש המופע הוא ±360°
  3. את המרחק בין שני הגלים ניתן למדוד בעזרת כל שתי נקודות דומות, אך הכי נוח לבדוק:
    • בין שיא לשיא (Peaks) - בנקודות הכי גבוהות או הכי נמוכות.
    • בין חציית האפס (Zero Crossing) - ברגע שהאות חתך את הציר האופקי.
  4. כדי לחשב את הפרש המופע בציר הזמן (שני גלי סינוס) צריך להכפיל את שלושת הפרמטרים הבאים:
    • הפרש הזמנים - ΔT
    • התדר
    • מחזור שלם - 360° או 2π
  5. כדי לחשב את הפרש המופע במצב X-Y (אליפסה) צריך לחשב את הארקסינוס של היחס בין שני הפרמטרים הבאים:
    • המרחק בין שתי הנקודות החותכות את הציר האנכי: a=a1-a2.
    • המרחק בין שתי נקודות הקיצון: b=b1-b2.


2.1.2 תשובה למערך ליצירת הפרש-מופע

איור 6: מעגל סינון לתדרים גבוהים, הבעיה במעגל זה היא שלא מתחשבים בהתנגדות הפנימית של המחולל אותות (50Ω) אשר עלולה להשפיע על האופיין של המעגל במידה והנגד שלו (R) קטן מדי (קטן מ-1kΩ למשל)
איור 7: מסנן מעביר-נמוכים עם פיצוי-התנגדות עקב ההתנגדות הפנימית של המחולל אותות העומדת על סך 50Ω

בכדי ליצור מעגל עם הפרש-מופע נצטרך רכיב מזיז מופע כגון קבל או סליל.

נשתמש במעגל שלנו בקבל שהוא רכיב אשר נחשב אידיאלי ונוח יותר מאשר משרן.

ניצור לדוגמא את המעגל באיור 6.

הבעיה במעגל זה היא שלא מתחשבים בהתנגדות הפנימית של המחולל שהיא 50Ω כך שאם נרצה לחשב את פונקציית התמסורת יצא לנו משהו קצת מסורבל כמו:

[math]V_{OUT}=V_{IN}\cdot\frac{R}{R_S+Z_C+R}[/math]

כאשר RS מציין את ההתנגדות הפנימית של המחולל.

ולכן דרך פשוטה יותר תהיה ליצור מעגל שבו מודדים את המתח על הקבל ומשם תהיה נוסחא פשוטה יותר:

[math]V_{OUT}=V_{IN}\cdot\frac{Z_C}{Z_C+(R+R_S)}=V_{IN}\cdot\frac{Z_C}{Z_C+R_T}[/math]

הפעם מתייחסים לשני הנגדים הטוריים, RS של המחולל ו-R של המעגל, בתור נגד אחד כללי RT.

אם למשל נרצה נגד RT של 1kΩ למשל, אז נצטרך לשים נגד של 950Ω כדי לקזז את ה-50Ω של ההתנגדות המחולל הפנימית.

מעגל כזה לדוגמא ניתן לראות באיור 7.

2.1.3 תשובה לגודלם של הרכיבים

כיוון שהחלטנו ליצור מסנן מעביר נמוכים, אנו יודעים שהחל מתדר כלשהו המסנן מתחיל להנחית את אות המוצא (הוא מעביר רק תדרים נמוכים).

תדר הסף הזה נקרא תדר-הברך והוא מחושב בתור התדר בו רק מחצית מן ההספק בכניסה עוברת למוצא:

משוואה 3: [math]P_{OUT}=\frac{P_{IN}}{2}[/math]

כיוון שזהו מעגל טורי, גודל הזרם זהה על כל הרכיבים, ולכן צריך שחצי מהמתח ייפול על הקבל וחצי על הנגד (כדי לקבל את מחצית ההספק), זה ייתרחש ברגע שהעכבות של הנגד והקבל זהות:

[math]|Z_R|=|Z_C|[/math]

[math]|R_T|=|\frac{1}{j\omega C}|[/math]

[math]R_T=\frac{1}{\omega C}[/math]

כלומר:

[math]\omega=\frac{1}{R_TC}[/math]

הקשר בין התדר לתדירות-הזוויתית הוא:

[math]\omega=2\pi f[/math]

ולכן:

[math]2\pi f=\frac{1}{R_TC}[/math]

ומקבלים את נוסחת תדר-הברך:

[math]f=\frac{1}{2\pi R_TC}[/math]

כך שאם למשל נרצה תדר של 1kHz, ונגיד שנבחר נגד כללי RT של 1000 אוהם, ערכו של הקבל יהיה:

[math]C=\frac{1}{2\pi f R_T}=\frac{1}{2\pi 1000\cdot1000}=0.159\,\mu F[/math]

כלומר הערכים במעגל יהיו:

סימון ערך [יחידות]
f 1000Hz
R 1000Ω-50Ω=950Ω
C 159μF


2.1.4 תשובה לגרף התלות בתדר

איור 8: תגובת מעגל RC לתדר-זוויתי, שזוהי ברירת-המחדל של מטלב, נא לשים לב שתדר-הברך הוא 1000 הרץ (יחידות של אחד חלקי שניה), אך התדירות הזוויתית היא כפול שני פאי כלומר 6283 רדיאן לשניה. (קוד הגרף)

נחשב תחילה את פונקציית התמסורת שלנו.

למען הנוחות נתייחס ל-R בתור הנגד הכולל (במקום RT).

[math]V_{OUT}=V_{IN}\cdot\frac{Z_C}{Z_C+R}[/math]

[math]V_{OUT}=V_{IN}\cdot\frac{\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1}{j\omega C}+R}[/math]

נוריד את המונה אל המכנה:

[math]V_{OUT}=V_{IN}\cdot\frac{1}{j\omega C\cdot\Big(\frac{1}{j\omega C}+R\Big)}[/math]

ונקבל את פונקציית התמסורת:

[math]\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=H(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega RC}[/math]

רואים שככל שהתדר (המכנה) גדל - כך מתח-המוצא יורד, ואילו ככל שהתדר נמוך יותר (עד אפס) מקבלים מתח גבוה יותר במוצא, כלומר קיבלנו נוסחא טיפוסית למסנן מעביר-נמוכים.


כדי למצוא את הזווית נצטרך תחילה להפריד בין החלק הממשי והמדומה, לכן נכפיל ונחלק בצמוד של המכנה:

[math]H(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega RC}\cdot\frac{1-j\omega RC}{1-j\omega RC}[/math]

ונקבל:

[math]H(j\omega)=\frac{1-j\omega RC}{1+(\omega RC)^2}=\frac{1}{1+(\omega RC)^2}-j\frac{\omega RC}{1+(\omega RC)^2}[/math]

וכדי לקבל את הזווית, צריך למצוא את היחס בין החלק המדומה והחלק הממשי:

[math]\varphi=arctan\bigg(\frac{y}{x}\bigg)=arctan\Bigg(\frac{-\frac{\omega RC}{1+(\omega RC)^2}}{\frac{1}{1+(\omega RC)^2}}\Bigg)[/math]

נצמצם את המכנים הזהים ונקבל:

[math]\varphi=tg^{-1}(-\omega RC)[/math]

בתדר הברך קיים שוויון בין התדר-הזוויתי וההופכי של קבוע הזמן:

[math]\omega=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{RC}[/math]

כלומר:

[math]\omega RC=1[/math]

ולכן הזווית בתדר-הקיטעון היא:

[math]\varphi=tg^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}=-45^\circ[/math]

עוד שני תדרי קיצון שצריך לבדוק כדי שנוכל לצייר את הגרף הם אפס ואינסוף:

[math]\varphi=tg^{-1}(-0)=0\,[rad]=0^\circ[/math]

[math]\varphi=tg^{-1}(-\infty)=-\frac{\pi}{2}=-90^\circ[/math]


לפתח את הנוסחא היה חשוב כיוון שהמטלב מקבל את הנוסחא הזו בתור פרמטר (ניתן לראות זאת בקוד הגרף):

[math]H_C(s)=\frac{1}{RCs+1}[/math]

אם נצייר את הגרף של האמפליטודה והפרש-המופע במוצא ביחס לתדירות-הזוויתית ω (ברירת-המחדל של מטלב במקום התדר f) נקבל את הגרף באיור 8.

לשים לב שתדר-זוויתי של 6283 רדיאן לשנייה הוא שווה ערך לתדר של 1000 הרץ (1 חלקי שניה).

2.2 תשובה לייצוג ספקטראלי

נוסחאות הגלים וערכי ה-RMS שלהם נלקחו מהערך RMS.

2.2.1 גַּל סִינוּסוֹאִידִי

איור 9: גל סינוס והייצוג הספקטראלי שלו (קוד הגרף)

גַּל סִינוּסוֹאִידִי כפי שרואים באיור 9א' מורכב מהנוסחא:

[math]A\cdot sin(2\pi ft)[/math]

נתון:

[math]V_{RMS}=1\,V=\frac{A}{\sqrt2}[/math]

לכן:

[math]A=V_{RMS}\cdot\sqrt2=1\cdot\sqrt2=\sqrt2[/math]


2.2.1.1 הערות לגבי הערכים

טור פורייה של גל סינוסי טהור הוא פשוט הגל עצמו, אשר מורכב מהרמוניה אחת בלבד ולכן רואים באיור 9ב' רק דֶלְתָּא אחת עם המאפיינים הבאים:

  1. מיקום 1 kHz הוא ההרמוניה היסודית, בהתאם לתדר גל הסינוס המקורי, כל שאר ההרמוניות אמורות להיות כפולות שלמות של הרמוניה זו.
  2. העוצמה היא 1V RMS, חשוב מאוד: יש לשים לב לכותרת ציר ה-y:
    • כיוון שמסומן שזהו מתח RMS, גובה הדֶלְתָּא הוא 1
    • במידה וזה היה ציר לוגריתמי של מתח ה-RMS (כפי שרואים במשקף תנודות) היינו אמורים לראות פשוט אפס (לוג של 1), ואילו הערכים שהם אפס היו מגיעים לרוויה שלילית (לוג של 0 זה מינוס אינסוף).
    • אם היה מסומן רק מתח (V), גובה הדֶלְתָּא היה צריך להיות שורש 2 שזה בערך 1.4, אך אסור לעשות דבר כזה כיוון שאם יש למשל מתח DC (הרמוניה עם תדר אפס) זה אומר שהערך שלה לא יהיה באותה הסקאלה כמו שאר הערכים (ההרמוניות הסינוסואידליות) כיוון שערך DC של 1 וולט הוא שווה ערך ל-1V RMS של גל סינוס ואינו שווה לערך 1.4 וולט של גל סינוס בדוגמא הנוכחית, לכן כל הערכים חייבים להיות ב-RMS כדי שתהיה תאימות למקרה של היסט DC.


2.2.2 גַּל רִבּוּעִי

איור 10: גל ריבועי והייצוג הספקטראלי שלו (קוד הגרף)

גַּל מַלְבֵּנִי כפי שרואים באיור 10א' מורכב מהנוסחא:

[math] y= \begin{cases} A, & 0 \lt= frac(f\cdot t) \lt 0.5 \\[2ex] -A, & 0.5 \lt= frac(f\cdot t) \lt 1 \\[2ex] \end{cases} [/math]

כאשר frac מציין את החלק העשרוני של המספר (ללא החלק השלם).

נתון:

[math]V_{RMS}=1\,V=A[/math]


טור פורייה של גל ריבועי מיוצג עפ"י הנוסחא הבאה:

[math]y=\frac{4A}{\pi}\cdot\sum_{i=1}^n\frac{sin\Big((2n-1)\omega_0t\Big)}{2n-1}[/math]

כלומר רואים כאן רק הרמוניות אי-זוגיות (כצפוי מגל-סימטרי), אם נחשב כמה מן ההרמוניות הראשונות נקבל:

n מקדם הרמוניה RMS
1 [math]\frac{4\cdot1}{\pi}\frac{sin(1\cdot\omega_0t)}{1}=\frac{4}{\pi} \approx 1.27[/math] 1 [math]\frac{4}{\pi\sqrt2} \approx 0.9[/math]
2 [math]\frac{4\cdot1}{\pi}\frac{sin(3\cdot\omega_0t)}{3}=\frac{4}{3\pi} \approx 0.424[/math] 3 [math]\frac{4}{3\pi\sqrt2} \approx 0.3[/math]
3 [math]\frac{4\cdot1}{\pi}\frac{sin(5\cdot\omega_0t)}{5}=\frac{4}{5\pi} \approx 0.255[/math] 5 [math]\frac{4}{5\pi\sqrt2} \approx 0.18[/math]
4 [math]\frac{4\cdot1}{\pi}\frac{sin(7\cdot\omega_0t)}{7}=\frac{4}{7\pi} \approx 0.182[/math] 7 [math]\frac{4}{7\pi\sqrt2} \approx 0.129[/math]

2.2.2.1 הערות לגבי ההרמוניות

  1. כל הרמוניה היא גל-סינוס טהור.
  2. אין הרמוניות זוגיות כיוון שזהו גל-סימטרי (עם דיוטי סייקל של 50%).
  3. מספר ההרמוניה הוא הכופל של התדר היסודי, כלומר m בנוסחא: m·f0 אשר נמצאת בתוך הסינוס.
  4. המקדמים בטור פורייה הם המשרעת (המקדם) של גל-הסינוס של כל הרמוניה.
  5. כדי לחשב את ערך ה-RMS של גלי-הסינוס פשוט מחלקים בשורש 2.
  6. ההרמוניות שחושבו בטבלה לעיל שונות מכפי שרואים באיור 10ב' כיוון שהחישוב באיור נעשה ע"י חישובים נומריים באמצעות תוכנת מטלאב עם תדר-דגימה מוגבל ולכן הערכים הם פחות מדוייקים מהחישוב האנליטי אותו ביצענו בטבלה לעיל.
  7. אותן ההערות בגל הסינוס תקפות גם כאן.


2.2.3 גל משולש

איור 11: גל משולש והייצוג הספקטראלי שלו (קוד הגרף)

גל-משולש כפי שרואים באיור 11א' מורכב מהנוסחא: [math]y=|2A\cdot frac(f\cdot t)-A|[/math]

כאשר frac מציין את החלק העשרוני של המספר (ללא החלק השלם).

נתון:

[math]V_{RMS}=1\,V=\frac{A}{\sqrt3}[/math]

לכן:

[math]A=V_{RMS}\cdot\sqrt3=1\cdot\sqrt3=\sqrt3[/math]


טור פורייה של גל-משולש מיוצג עפ"י הנוסחא הבאה:

[math]y=\frac{8A}{\pi^2}\cdot\sum_{i=1}^n\frac{cos\Big((2n-1)\omega_0t\Big)}{(2n-1)^2}[/math]

כלומר רואים כאן רק הרמוניות אי-זוגיות (כצפוי מגל-סימטרי), אם נחשב כמה מן ההרמוניות הראשונות נקבל:

n מקדם הרמוניה RMS
1 [math]\frac{8\cdot\sqrt3}{\pi^2}\frac{cos(1\cdot\omega_0t)}{1^2}=\frac{8\sqrt3}{\pi^2} \approx 1.404[/math] 1 [math]\frac{8\sqrt3}{\pi^2\sqrt2} \approx 0.993[/math]
2 [math]\frac{8\cdot\sqrt3}{\pi^2}\frac{cos(3\cdot\omega_0t)}{3^2}=\frac{8\sqrt3}{9\pi^2} \approx 0.156[/math] 3 [math]\frac{8\sqrt3}{9\pi^2\sqrt2} \approx 0.110[/math]
3 [math]\frac{8\cdot\sqrt3}{\pi^2}\frac{cos(5\cdot\omega_0t)}{5^2}=\frac{8\sqrt3}{25\pi^2} \approx 0.056[/math] 5 [math]\frac{8\sqrt3}{25\pi^2\sqrt2} \approx 0.04[/math]
4 [math]\frac{8\cdot\sqrt3}{\pi^2}\frac{cos(7\cdot\omega_0t)}{7^2}=\frac{8\sqrt3}{49\pi^2} \approx 0.029[/math] 7 [math]\frac{8\sqrt3}{49\pi^2\sqrt2} \approx 0.020[/math]


כל ההערות שנרשמו בגל-ריבועי תקפות גם כאן.


2.2.4 גל שן-מסור

איור 12: גל שן-מסור והייצוג הספקטראלי שלו (קוד הגרף)

גל שן-מסור כפי שרואים באיור 12א' מורכב מהנוסחא: [math]y=2A\cdot frac(f\cdot t)-A[/math]

כאשר frac מציין את החלק העשרוני של המספר (ללא החלק השלם).

נתון:

[math]V_{RMS}=1\,V=\frac{A}{\sqrt3}[/math]

לכן:

[math]A=V_{RMS}\cdot\sqrt3=1\cdot\sqrt3=\sqrt3[/math]


טור פורייה של גל שן-מסור מיוצג עפ"י הנוסחא הבאה:

[math]y=\frac{2A}{\pi}\cdot\sum_{i=1}^n\frac{sin(n\omega_0t)}{n}[/math]

כלומר הפעם כל ההרמוניות מופיעות, אם נחשב כמה מן ההרמוניות הראשונות נקבל:

n מקדם הרמוניה RMS
1 [math]\frac{2\cdot\sqrt3}{\pi}\frac{sin(1\cdot\omega_0t)}{1}=\frac{2\sqrt3}{\pi} \approx 1.103[/math] 1 [math]\frac{2\sqrt3}{\pi\sqrt2} \approx 0.78[/math]
2 [math]\frac{2\cdot\sqrt3}{\pi}\frac{sin(2\cdot\omega_0t)}{2}=\frac{2\sqrt3}{2\pi} \approx 0.551[/math] 2 [math]\frac{2\sqrt3}{2\pi\sqrt2} \approx 0.39[/math]
3 [math]\frac{2\cdot\sqrt3}{\pi}\frac{sin(3\cdot\omega_0t)}{3}=\frac{2\sqrt3}{3\pi} \approx 0.368[/math] 3 [math]\frac{2\sqrt3}{3\pi\sqrt2} \approx 0.26[/math]
4 [math]\frac{2\cdot\sqrt3}{\pi}\frac{sin(4\cdot\omega_0t)}{4}=\frac{2\sqrt3}{4\pi} \approx 0.276[/math] 4 [math]\frac{2\sqrt3}{4\pi\sqrt2} \approx 0.195[/math]


כל ההערות שנרשמו בגל-ריבועי תקפות גם כאן, למעט הערה אחת:

  • גל זה אינו סימטרי, עם דיוטי סייקל של 100% ולא 50% ולכן הפעם רואים גם הרמוניות זוגיות.


2.3 תשובה לעיוות הרמוני כולל

2.3.1 הגדרת THD

איור 13: הדגמה של THD. האיור הראשון מראה שני גלי סינוס בעלי תדר 50 ו-150 הרץ בהתאמה, ובעלי משרעת של 5 ו-2 וולט בהתאמה. באיור השני רואים את החיבור המתימטי של שני גלים אלו. ובאיור השלישי רואים את החיבור המתימטי (האיור השני) במישור התדר וע"י כך ניתן בקלות להבין מאילו תדרים מורכב הגל באיור השני. (קוד הגרף)

עִוּוּת הַרְמוֹנִי כולל, בלועזית Total harmonic distortion, הוא מדד לרכיבי התדר המתווספים לאות סינוסי טהור[1] (שהוא מהווה הרמוניה בודדת בסיסית), לדוגמא קיים אות בסיסי כפי שרואים בצבע כחול באיור 13א':

[math]f(t)=5\cdot sin(2\pi\cdot 50\cdot t)[/math]

אם נוסיף אליו עוד הרמוניה לא רצויה, כפי שרואים בצבע כתום באיור 13א', למשל בתדר פי 3 גבוה יותר ובעוצמה נמוכה יותר, של 2 וולט למשל, נקבל את הגל באיור 13ב' אשר מיוצג מתימטית ע"י:

[math]g(t)=5\cdot sin(2\pi\cdot f\cdot t)+2\cdot sin(2\pi\cdot 3f\cdot t)[/math]

יש לזכור:

  1. רכיבי התדר הנוספים הם בכפולות שלמות של רכיב התדר הבסיסי.
  2. לרכיבי התדר הנוספים בדר"כ יש עוצמה נמוכה יותר מאשר לרכיב התדר הבסיסי.

התמונה באיור 13ב' קשה להבנה כיוון שהיא מוצגת במישור הזמן, לכן הדרך הנוחה יותר תהיה להציג אותה במישור התדר כפי שרואים באיור 13ג', שם ניתן בקלות לזהות את כל ההרמוניות:

  1. ההרמוניה הראשונה היא בתדר 50 הרץ ובמשרעת של 5 וולט.
  2. ההרמוניה השנייה לא קיימת.
  3. ההרמוניה השלישית היא בתדר 150 הרץ (פי 3 יותר - בכפולות שלמות) ובמשרעת של 2 וולט (בערך פי 2 פחות).


2.3.2 משוואת ה-THD

כיוון שאנו צריכים לדעת את הכמות היחסית של ההרמוניות הלא רצויות (אשר יוצרות את העיוות ההרמוני), אנו צריכים פשוט לבדוק את היחס בין העוצמה של ההרמוניות הלא רצויות והעוצמה של ההרמוניה הראשונה (הבסיסית והרצויה), כלומר:

[math]THD=\frac{V_{2-n\,RMS}}{V_{1\,RMS}}=\frac{\sqrt{V_2^2+V_3^2+V_4^2+\ldots+V_n^2}}{\sqrt{V_1^2}}=\frac{\sqrt{\sum_{i=2}^n V_i^2}}{V_1}[/math]

או באחוזים:[1]

משוואה 4: [math]THD=\frac{\sqrt{\sum_{i=2}^n V_i^2}}{V_1}\times100\%[/math]

אם נתייחס אל הדוגמא באיור 13ג', נוכל לחשב את העיוות ההרמוני הכולל:

[math]THD=\frac{\sqrt{2^2}}{5}=\frac{2}{5}=0.4=40\%[/math]

2.3.3 חישוב THD באמצעות המתח היעיל

אם ידוע המתח היעיל (ידוע גם בתור מתח אפקטיבי או מתח RMS) נעשה תימרון קטן למשוואה 4 כדי להגיע אל המונה של משוואה זו, לשם כך נתחיל בנוסחא של מתח יעיל:

[math]V_{AC RMS}=\sqrt{V_1^2+V_2^2+V_3^2+V_4^2+\ldots+V_n^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^n V_i^2}[/math]

הערות:

  • כל המתחים הנ"ל (בתוך השורש) הם גם מתחי RMS (אחרת היה צריך לחלק אותם בשורש 2).
  • ישנם שני סוגי RMS:
    1. VAC RMS כפי שחישבנו לעיל מתחיל מהרמוניה מספר 1, כלומר אינו כולל את מרכיב ה-DC, וזהו המתח הנמדד באמצעות רב-מודד ספרתי.
    2. VDC RMS מתחיל מהרמוניה מספר 0 שהיא מתח ה-DC אשר מתווסף לאות במידה והוא אינו סימטרי סביב ציר ה-X, וזהו סוג נוסף של מתח היכול להימדד במעבדה שלנו אך ורק באמצעות משקף תנודות או לחלופין מחשבים אותו ע"י שורש הריבועים של מתח-ישר ומתח AC RMS כלומר: [math]V_{DCRMS}=\sqrt{V_{ACRMS}^2+V_{DC}^2}[/math].

משוואת המתח היעיל הנ"ל כוללת את כל ההרמוניות, אך במונה של משוואת ה-THD (משוואה 4) אין את ההרמוניה הראשונה ולכן אנו צריכים להוריד אותה ממשוואת המתח היעיל, לשם כך נעלה את משוואת המתח-היעיל בריבוע:

[math]V_{RMS}^2=\bigg(\sqrt{V_1^2+V_2^2+V_3^2+V_4^2+\ldots+V_n^2}\bigg)^2=V_1^2+V_2^2+V_3^2+V_4^2+\ldots+V_n^2[/math]

ומזה נוריד את ההרמוניה הראשונה (בריבוע) אשר ידועה לנו על-פי נתוני השאלה:

[math]V_{RMS}^2-V_1^2=V_2^2+V_3^2+V_4^2+\ldots+V_n^2[/math]

ולבסוף נעשה שורש כדי לקבל את המונה של נוסחת ה-THD:

[math]\sqrt{V_{RMS}^2-V_1^2}=\sqrt{V_2^2+V_3^2+V_4^2+\ldots+V_n^2}=\sqrt{\sum_{i=2}^n V_i^2}[/math]

ולכן נוסחת ה-THD אשר מורכבת מהמתח היעיל וההרמוניה הראשונה (אשר נתונים בשאלה) היא:

[math]THD=\frac{\sqrt{V_{RMS}^2-V_1^2}}{V_1}[/math]

אם נכניס את ההרמוניה הראשונה אשר במכנה לתוך השורש נקבל:

[math]THD=\sqrt{\frac{V_{RMS}^2-V_1^2}{V_1^2}}=\sqrt{\frac{V_{RMS}^2}{V_1^2}-\frac{V_1^2}{V_1^2}}=\sqrt{\frac{V_{RMS}^2}{V_1^2}-1}=\sqrt{\bigg(\frac{V_{RMS}}{V_1}\bigg)^2-1}[/math]

או באחוזים:

משוואה 5: [math]THD=100\%\times\sqrt{\bigg(\frac{V_{RMS}}{V_1}\bigg)^2-1}[/math]

היתרון כאן הוא שלא צריך לדעת את כל ההרמוניות, אלא מספיק לבדוק את המתח היעיל (באמצעות רמ"ס למשל) ולדעת את ההרמוניה הראשונה (במקרה שבו למשל הגל הרצוי אמור להיות סינוסואידלי טהור) וכך ניתן לחשב את העיוות ההרמוני הכולל של האות.

2.4 תשובה לחישוב מעשי של THD

2.4.1 תשובה לסדרת-דפקים

איור 14: הרמוניות של סִדְרַת דְּפָקִים. כל פעם מוסיפים עוד הרמוניה כדי לראות איך הגל הסופי נבנה, ובאיור האחרון מופיע הסכום של 1000 ההרמוניות הראשונות אשר מראה קירוב מאוד טוב לצורת גל של רכבת-פולסים. (קוד הגרף)
איור 15: סדרת-דפקים במישור התדר בעלת דיוטי-סייקל של 20% ומתח RMS של 1V. איור זה נעשה במהופך לאיור הקודם, הפעם נלקח הגל וממנו חולצו ההרמוניות בשיטת FFT. נא לשים לב שהרמוניות 5 ו-10 לא קיימות כיוון שעבור דיוטי-סייקל של 20% (שזה 1 חלקי 5) מתאפסים כל המקדמים של ההרמוניות החמישוניות. בנוסף נא לשים לב שכל ההרמוניות חולקו בשורש 2 כיוון שהן גלים-סינוסואידליים וכך מחשבים את ערך ה-RMS שלהם, חוץ מהרמוניה 0 שהיא רכיב DC ולכן ערכה נשאר כמות שהוא. (קוד הגרף)

על-מנת לחשב את ה-THD ישנן שתי שיטות כפי שראינו קודם:

2.4.1.1 חישוב THD של סִדְרַת דְּפָקִים באמצעות ההרמוניות

ניקח את הנוסחא הנתונה בשאלה:

[math]V=A\cdot d+\frac{2A}{\pi}\big[sin(\pi d)cos(\omega_0t)+\frac{1}{2}sin(2\pi d)cos(2\omega_0t)+\frac{1}{3}sin(3\pi d)cos(3\omega_0t)+\ldots\big][/math]

כאשר נזכיר:

  • האמפליטודה A מייצגת את גובה האות.
  • הדיוטי סייקל מיוצג ע"י האות d.

נפרק את הנוסחא לגורמים:

טבלה 1: הרמוניות של סדרת-דפקים

תדר מרכיב הרמוניה *ערך מירבי/מקדם *ערך RMS
DC - 0 kHz [math]A\cdot d[/math] 0 [math]A\cdot d[/math] [math]A\cdot d[/math]
f0 [math]\frac{2A}{\pi}sin(\pi d)cos(\omega_0t)[/math] 1 [math]\frac{2A}{\pi}sin(\pi d)[/math] [math]\frac{2A}{\pi\sqrt2}sin(\pi d)[/math]
2·f0 [math]\frac{2A}{\pi}\cdot\frac{1}{2}sin(2\pi d)cos(2\omega_0t)[/math] 2 [math]\frac{2A}{\pi}\cdot\frac{1}{2}sin(2\pi d)[/math] [math]\frac{2A}{\pi\sqrt2}\cdot\frac{1}{2}sin(2\pi d)[/math]
3·f0 [math]\frac{2A}{\pi}\cdot\frac{1}{3}sin(3\pi d)cos(3\omega_0t)[/math] 3 [math]\frac{2A}{\pi}\cdot\frac{1}{3}sin(3\pi d)[/math] [math]\frac{2A}{\pi\sqrt2}\cdot\frac{1}{3}sin(3\pi d)[/math]
4·f0 [math]\frac{2A}{\pi}\cdot\frac{1}{4}sin(4\pi d)cos(4\omega_0t)[/math] 4 [math]\frac{2A}{\pi}\cdot\frac{1}{4}sin(4\pi d)[/math] [math]\frac{2A}{\pi\sqrt2}\cdot\frac{1}{4}sin(4\pi d)[/math]
  • הערך המירבי של פונקצייה טריגונומטרית בעלת זווית ממשית הוא 1.
  • את ערך ה-RMS עבור DC לא מחלקים בשורש 2 כיוון שהחלוקה בשורש 2 מתבצעת אך ורק עבור גלי סינוס.
  • ערך ה-DC הינו הערך הממוצע של האות.
  • ניתן לראות את כל ההרמוניות באיור 15 אך הערכים שם פחות מדוייקים כיוון שהם חושבו בצורה נומרית.


נציב את הערכים במשוואת ה-THD:

[math]THD=\frac{V_{2-n\,RMS}}{V_{1\,RMS}}=\frac{\sqrt{V_2^2+V_3^2+V_4^2}}{V_1}[/math]

לשים לב! בחישוב ה-THD לא משתמשים בהרמוניה מספר 0 של ה-DC.

נציב את הערכים מהטבלה:

[math]THD=\frac{\sqrt{\Big(\frac{2A}{\pi\sqrt2}\cdot\frac{1}{2}sin(2\pi d)\Big)^2+\Big(\frac{2A}{\pi\sqrt2}\cdot\frac{1}{3}sin(3\pi d)\Big)^2+\Big(\frac{2A}{\pi\sqrt2}\cdot\frac{1}{4}sin(4\pi d)\Big)^2}}{\frac{2A}{\pi\sqrt2}sin(\pi d)}[/math]

ניתן לצמצם את המקדם של המכנה עם המקדמים בתוך השורש:

[math]THD=\frac{\sqrt{\Big(\frac{1}{2}sin(2\pi d)\Big)^2+\Big(\frac{1}{3}sin(3\pi d)\Big)^2+\Big(\frac{1}{4}sin(4\pi d)\Big)^2}}{sin(\pi d)}[/math]

קיבלנו נוסחא אשר אינה תלויה ב-A אך תלויה ב-d, ולכן ניקח את הערך של d=20% אשר מופיע באיור 1 ונציב:

[math]THD=\frac{\sqrt{\Big(\frac{1}{2}sin(2\pi 0.2)\Big)^2+\Big(\frac{1}{3}sin(3\pi 0.2)\Big)^2+\Big(\frac{1}{4}sin(4\pi 0.2)\Big)^2}}{sin(\pi 0.2)}[/math]

ונקבל:

[math]THD=1.0039=100.39\%[/math]

תוצאה זו אמנם קרובה לתוצאה האמיתית, אך היא התבססה על 3 הרמוניות בלבד (במונה), אם נרצה לחשב באופן מדוייק כפי שצויין בשאלה נצטרך להשתמש ביותר הרמוניות.

נכתוב את נוסחת ה-THD באמצעות טור:

[math]THD=\frac{1}{sin(\pi d)}\sqrt{\sum_{i=2}^n\frac{1}{n^2}sin^2(n\pi d)}[/math]

ניתן להכניס נוסחא זו למחשבון כגון ה-CASIO fx-991ES plus (לחיצה על shift + log), ועבור n=50 הוא יתן (אחרי כ-9 שניות) את התוצאה:

[math]THD=1.120900806 \approx 112.09\%[/math]

רואים ש-50 הרמוניות הרבה יותר מדוייק מאשר 4 הרמוניות (3 במונה), אך כדי למצוא את התוצאה האנליטית המדוייקת ניתן או לחשב את הסכום של הטור או להשתמש בשיטה הכללית אשר מפורטת בסעיף הבא.

2.4.1.2 חישוב THD באמצעות RMS

לצורך החישוב נשתמש במשוואה 5:

[math]THD=100\%\times\sqrt{\bigg(\frac{V_{RMS}}{V_1}\bigg)^2-1}[/math]

אות המקור מורכב משני מתחים קבועים שונים, כלומר נוסחת האות עבור מחזור אחד היא:

[math] Pulse= \begin{cases} A, & 0 \lt t \lt d\cdot T \\[2ex] 0, & d\cdot T \lt t \lt T \\[2ex] \end{cases} [/math]

כאשר נזכיר שוב:

  • האמפליטודה A מייצגת את גובה האות.
  • הדיוטי סייקל מיוצג ע"י האות d (מספר בין 0 ל-1).
  • ואילו סך זמן המחזור מיוצג ע"י האות T.

נחשב את מתח ה-RMS שלו בהתאם לנוסחת ה-RMS בה השתמשנו בניסוי 1א':

[math]V_{RMS}=V_{AC}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T{[V(t)]^2}dt}[/math]

כיוון שיש רק מחזור חלקי, נציב גבולות בין 0 ל-d·T בזמן ששאר המחזור מאופס:

[math]V_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^{d\cdot T}{[A]^2}dt}[/math]

נפתור את האינטגרל, כאשר A הוא בסך-הכל קבוע:

[math]V_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\cdot A^2\cdot t\Bigg\rvert_0^{d\cdot T}}[/math]

נוציא את הקבוע מחוץ לשורש ונציב את גבולות האינטגרל:

[math]V_{RMS}=A\cdot\sqrt{\frac{1}{T}\cdot (d\cdot T-0)}=A\cdot\sqrt{\frac{d\cdot T}{T}}[/math]

ונקבל את מתח ה-RMS של סדרת-דפקים:

[math]V_{RMS}=A\sqrt{d}[/math]

כאשר A היא משרעת הגל ו-d הוא הדיוטי סייקל.

ניקח את העוצמת-RMS של ההרמוניה היסודית (המקדם של f0 הוא 1) מטבלה 1:

[math]V_1=\frac{2A}{\pi\sqrt2}sin(\pi d)[/math]

ננסה (רק ננסה כיוון שלא נצליח) להציב זאת במשוואת ה-THD ונקבל:

[math]THD=\sqrt{\bigg(\frac{V_{RMS}}{V_1}\bigg)^2-1}=\sqrt{\Bigg(\frac{A\sqrt{d}}{\frac{2A}{\pi\sqrt2}sin(\pi d)}\Bigg)^2-1}=\sqrt{\Bigg(\frac{\sqrt{d}}{\frac{2}{\pi\sqrt2}sin(\pi d)}\Bigg)^2-1}[/math]

נסדר קצת את הערכים:

[math]THD=\sqrt{\bigg(\frac{\pi\sqrt2\sqrt{d}}{2\cdot sin(\pi d)}\bigg)^2-1}=\sqrt{\frac{\pi^2\cdot2\cdot d}{4\cdot sin^2(\pi d)}-1}=\sqrt{\frac{d\pi^2}{2sin^2(\pi d)}-1}[/math]

נציב d=20% כפי שמופיע באיור 1 ונקבל:

[math]THD=\sqrt{\frac{0.2\cdot\pi^2}{2sin^2(0.2\cdot\pi)}-1}=1.3626=136.26\%[/math]

כלומר קיבלנו THD ממש שונה ממה שקיבלנו בסעיף הקודם.

מה הבעיה?

שה-RMS שחישבנו כן כלל בתוכו את מרכיב ה-DC של הרמוניה מספר 0, ולכן היינו צריכים להוריד אותו מהחישוב של ה-RMS לפני חישוב ה-THD.

קיימות שתי דרכים:

  1. הדרך הארוכה, להפחית מהגל את הערך הממוצע שלו (הרמוניה 0), ולחשב שוב מההתחלה את ערך ה-AC RMS.
  2. הדרך הקצרה, להפחית מערך ה-DC RMS (אותו בעצם חישבנו) את הרמוניה 0, וזוהי הדרך שנבחר בה.

את הרמוניה 0 (שהיא למעשה הערך הממוצע של האות) חישבנו כבר בטבלה 1 ולכן נקבל:

[math]V_{AC RMS}=\sqrt{V_{DC RMS}^2-V_0^2}=\sqrt{\big(A\sqrt{d}\big)^2-\big(A\cdot d\big)^2}=\sqrt{A^2\cdot d-A^2\cdot d^2}=A\sqrt{d-d^2}=A\sqrt{d(1-d)}[/math]

ננסה שוב (הפעם בהצלחה) להציב זאת במשוואת ה-THD ונקבל:

[math]THD=\sqrt{\bigg(\frac{V_{RMS}}{V_1}\bigg)^2-1}=\sqrt{\Bigg(\frac{A\sqrt{d(1-d)}}{\frac{2A}{\pi\sqrt2}sin(\pi d)}\Bigg)^2-1}[/math]

נצמצם את A וניפטר מהריבוע והשורש:

[math]THD=\sqrt{\frac{d(1-d)}{\frac{4}{2\pi^2}sin^2(\pi d)}-1}=\sqrt{\frac{2\pi^2\cdot d(1-d)}{4\cdot sin^2(\pi d)}-1}[/math]

ונקבל את משוואת ה-THD עבור סדרת-דפקים:

[math]THD=\sqrt{\frac{\pi^2\cdot d(1-d)}{2\cdot sin^2(\pi d)}-1}[/math]

נציב שוב d=20% כפי שמופיע באיור 1 ונקבל:

[math]THD=1.1337319380850300227395074191584 \approx 113.37\%[/math]

שזוהי תוצאה אפילו מדוייקת יותר מה-50 הרמוניות שחישבנו בסעיף הקודם.


2.4.2 תשובה למיישר חצי-גל

איור 16: הרמוניות של חצי-גל מיושר. כל פעם מוסיפים עוד הרמוניה כדי לראות איך הגל הסופי נבנה, ובאיור האחרון מופיעות 1000 הרמוניות אשר מראות קירוב ממש טוב לצורת הגל האמיתית של האות האידיאלי. (קוד הגרף)
איור 17: מיישר חצי-גל במישור התדר בעל מתח RMS של 1V. איור זה נעשה במהופך לאיור הקודם, הפעם נלקח הגל וממנו חולצו ההרמוניות בשיטת FFT. בנוסף נא לשים לב שכל ההרמוניות חולקו בשורש 2 כיוון שהן גלים-סינוסואידליים וכך מחשבים את ערך ה-RMS שלהם, למעט הרמוניה 0 שהיא רכיב DC ולכן ערכה נשאר זהה לערך בנוסחא.(קוד הגרף)

על-מנת לחשב את ה-THD ישנן שתי שיטות כפי שראינו קודם:

2.4.2.1 חישוב THD של מיישר חצי-גל באמצעות ההרמוניות

ניקח את הנוסחא הנתונה בשאלה:

[math]V=\frac{A}{\pi}+\frac{A}{2}sin(\omega_0t)-\frac{2A}{\pi}\big[\frac{cos(2\omega_0t)}{3}+\frac{cos(4\omega_0t)}{15}+\frac{cos(6\omega_0t)}{35}+\ldots\big][/math]

ונפרק אותה לגורמים:

טבלה 2: הרמוניות של חצי-גל סינוס מיושר

תדר מרכיב הרמוניה *ערך מירבי/מקדם *ערך RMS
DC - 0 kHz [math]\frac{A}{\pi}[/math] 0 [math]\frac{A}{\pi}[/math] [math]\frac{A}{\pi}[/math]
f0 [math]\frac{A}{2}sin(\omega_0t)[/math] 1 [math]\frac{A}{2}[/math] [math]\frac{A}{2\sqrt2}[/math]
2·f0 [math]-\frac{2A}{\pi}\cdot\frac{cos(2\omega_0t)}{3}[/math] 2 [math]\frac{2A}{3\pi}[/math] [math]\frac{2A}{3\pi\sqrt2}[/math]
4·f0 [math]-\frac{2A}{\pi}\cdot\frac{cos(4\omega_0t)}{15}[/math] 4 [math]\frac{2A}{15\pi}[/math] [math]\frac{2A}{15\pi\sqrt2}[/math]
6·f0 [math]-\frac{2A}{\pi}\cdot\frac{cos(6\omega_0t)}{35}[/math] 6 [math]\frac{2A}{35\pi}[/math] [math]\frac{2A}{35\pi\sqrt2}[/math]
  • הערך המירבי של פונקצייה טריגונומטרית בעלת זווית ממשית הוא 1 (או מינוס 1 במקרה של מקדם שלילי כפי שרואים בהרמוניה השנייה ומעלה).
  • את ערך ה-RMS עבור DC לא מחלקים בשורש 2 כיוון שהחלוקה בשורש 2 מתבצעת אך ורק עבור גלי סינוס.
  • ערך ה-DC הינו הערך הממוצע של האות.
  • ניתן לראות את כל ההרמוניות באיור 17 אך הערכים שם פחות מדוייקים כיוון שהם חושבו בצורה נומרית.

נציב את הערכים במשוואת ה-THD:

[math]THD=\frac{V_{2-n\,RMS}}{V_{1\,RMS}}=\frac{\sqrt{V_2^2+V_3^2+V_4^2}}{V_1}[/math]

לשים לב! בחישוב ה-THD לא משתמשים בהרמוניה מספר 0 של ה-DC.

נציב את הערכים מהטבלה:

[math]THD=\frac{\sqrt{\Big(\frac{2A}{3\pi\sqrt2}\Big)^2+\Big(\frac{2A}{15\pi\sqrt2}\Big)^2+\Big(\frac{2A}{35\pi\sqrt2}\Big)^2}}{\frac{A}{2\sqrt2}}=[/math]

נוציא מכנה משותף במונה:

[math]THD=\frac{\sqrt{\Big(\frac{2A}{\pi\sqrt2}\Big)^2\cdot\Big[\frac{1}{3^2}+\frac{1}{15^2}+\frac{1}{35^2}\Big]}}{\frac{A}{2\sqrt2}}=[/math]

נוציא מחוץ לשורש של המונה את המכנה המשותף:

[math]THD=\frac{\frac{2A}{\pi\sqrt2}\sqrt{\frac{1}{3^2}+\frac{1}{15^2}+\frac{1}{35^2}}}{\frac{A}{2\sqrt2}}=[/math]

לשים לב! הוספת שורש 2 לחישוב ה-RMS והוספת A לציון האמפליטודה של הגל היו מיותרות כיוון שהן מצטמצות, ולכן מקבלים:

[math]THD=\frac{4}{\pi}\cdot\sqrt{\frac{1}{3^2}+\frac{1}{15^2}+\frac{1}{35^2}}=[/math]

והתוצאה הסופית:

[math]THD=0.434=43.4\%[/math]

תוצאה זו אמנם קרובה לתוצאה האמיתית, אך היא התבססה על 3 הרמוניות בלבד, אם נרצה לחשב באופן מדוייק כפי שצויין בשאלה נצטרך להשתמש ביותר הרמוניות.

כיוון שכבר פיתחנו נוסחא מצומצמת, רק נוסיף לה איברים על פי הטור:

[math]\frac{1}{3},\frac{1}{15},\frac{1}{35},\ldots,\frac{1}{4\cdot n^2-1}[/math]

ולכן נוסחת ה-THD תהיה:

[math]THD=\frac{4}{\pi}\cdot\sqrt{\sum_{i=1}^n\frac{1}{(4\cdot n^2-1)^2}}[/math]

ניתן להכניס נוסחא זו למחשבון כגון ה-CASIO fx-991ES plus (לחיצה על shift + log), ועבור n=50 הוא יתן (אחרי 15 שניות ארוכות) את התוצאה:

[math]THD=0.435235877 \approx 43.52\%[/math]

כלומר לא צריך 50 הרמוניות אלא מספיק רק את שלושת ההרמוניות הראשונות במקרה זה, אך כדי למצוא את התוצאה האנליטית המדוייקת ניתן או לפתור את הסכום של הטור או להשתמש בשיטה הכללית אשר מפורטת בסעיף הבא.

2.4.2.2 חישוב THD באמצעות RMS

לצורך החישוב נשתמש במשוואה 5:

[math]THD=100\%\times\sqrt{\bigg(\frac{V_{RMS}}{V_1}\bigg)^2-1}[/math]

אות המקור הוא חצי-גל סינוס מיושר, כלומר זהו גל סינוס שהעבירו אותו דרך דיודה ולכן רואים רק את המחזורים החיוביים, כלומר נוסחת האות עבור מחזור אחד היא:

[math] HalfWave= \begin{cases} A\cdot sin(\omega t), & 0 \lt \omega t \lt \pi \\[2ex] 0, & \pi \lt \omega t \lt 2\pi \\[2ex] \end{cases} [/math]

נחשב את מתח ה-RMS שלו בהתאם לנוסחת ה-RMS בה השתמשנו בניסוי 1א':

[math]V_{RMS}=V_{AC}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T{[V(t)]^2}dt}[/math]

כיוון שיש רק חצי מחזור, נציב גבולות בין 0 ל-π בזמן שהחצי השני של המחזור מאופס:

[math]V_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^{T/2}{[A\cdot sin(\omega t)]^2}dt}[/math]

נשתמש בזהות לצמצום חזקות:

[math]sin^2\theta=\frac{1-cos2\theta}{2}[/math]

ונקבל:

[math]V_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\cdot A^2\int_0^{T/2}{\frac{1-cos(2\omega t)}{2}}dt}=A\cdot\sqrt{\frac{1}{T}\cdot\frac{1}{2}\int_0^{T/2}{1-cos(2\omega t)}dt}[/math]

נפתור את האינטגרל:

[math]V_{RMS}=A\cdot\sqrt{\frac{1}{2T}\cdot\Big[t-\frac{sin(2\omega t)}{2\omega}\Big]\Bigg\rvert_0^{T/2}}[/math]

נציב את הזהות:

[math]\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}[/math]

ונקבל:

[math]V_{RMS}=A\cdot\sqrt{\frac{1}{2T}\cdot\Big[t-\frac{sin(2\frac{2\pi}{T} t)}{2\frac{2\pi}{T}}\Big]\Bigg\rvert_0^{T/2}}[/math]

נציב את גבולות האינטגרל במקום t ונקבל:

[math]V_{RMS}=A\cdot\sqrt{\frac{1}{2T}\cdot\Bigg[\bigg(\frac{T}{2}-0\bigg)-\bigg(\frac{sin(2\frac{2\pi}{T}\frac{T}{2})}{2\frac{2\pi}{T}}-\frac{sin(2\frac{2\pi}{T}\cdot0)}{2\frac{2\pi}{T}}\bigg)\Bigg]}[/math]

נצמצם:

[math]V_{RMS}=A\cdot\sqrt{\frac{1}{2T}\cdot\Bigg[\frac{T}{2}-\bigg(\frac{sin(2\pi)}{\frac{4\pi}{T}}-\frac{sin(0)}{\frac{4\pi}{T}}\bigg)\Bigg]}[/math]

סינוס של 0 שווה לסינוס שני פאי (שווה ל-0) ולכן מה שיש בתוך הסוגריים מצטמצם:

[math]V_{RMS}=A\cdot\sqrt{\frac{1}{2T}\cdot\Bigg[\frac{T}{2}-\bigg(\frac{0}{\frac{4\pi}{T}}-\frac{0}{\frac{4\pi}{T}}\bigg)\Bigg]}=A\cdot\sqrt{\frac{1}{2T}\cdot\Bigg[\frac{T}{2}-0\Bigg]}[/math]

נצמצם את T ונקבל:

[math]V_{RMS}=A\cdot\sqrt{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=A\cdot\sqrt{\frac{1}{4}}=[/math]

ונקבל את מתח ה-RMS של חצי-גל סינוס מיושר:

[math]V_{RMS}=\frac{A}{2}[/math]

כאשר A היא משרעת הגל.

ניקח את העוצמת-RMS של ההרמוניה היסודית (המקדם של f0 הוא 1) מטבלה 2:

[math]V_1=\frac{A}{2\sqrt{2}}[/math]

ננסה (רק ננסה כיוון שלא נצליח) להציב זאת במשוואת ה-THD ונקבל:

[math]THD=\sqrt{\bigg(\frac{V_{RMS}}{V_1}\bigg)^2-1}=\sqrt{\bigg(\frac{\frac{A}{2}}{\frac{A}{2\sqrt{2}}}\bigg)^2-1}=\sqrt{\bigg(\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{1\sqrt{2}}}\bigg)^2-1}=\sqrt{\bigg(\sqrt{2}\bigg)^2-1}=\sqrt{2-1}=\sqrt1=1=100\%[/math]

כלומר קיבלנו THD ממש שונה ממה שקיבלנו בסעיף הקודם.

מה הבעיה?

שה-RMS שחישבנו כן כלל בתוכו את מרכיב ה-DC של הרמוניה מספר 0, ולכן היינו צריכים להוריד אותו מהחישוב של ה-RMS לפני חישוב ה-THD.

קיימות שתי דרכים:

  1. הדרך הארוכה, להפחית מהגל את הערך הממוצע שלו, ולחשב שוב מההתחלה את ערך ה-AC RMS.
  2. הדרך הקצרה, להפחית מערך ה-DC RMS (אותו בעצם חישבנו) את הרמוניה 0, וזוהי הדרך שנבחר בה.

את הרמוניה 0 (שהיא למעשה הערך הממוצע של האות) חישבנו כבר בטבלה 2 ולכן נקבל:

[math]V_{AC RMS}=\sqrt{V_{DC RMS}^2-V_0^2}=\sqrt{\Big(\frac{A}{2}\Big)^2-\Big(\frac{A}{\pi}\Big)^2}[/math]

ננסה שוב (הפעם בהצלחה) להציב זאת במשוואת ה-THD ונקבל:

[math]THD=\sqrt{\Bigg(\frac{\sqrt{\Big(\frac{A}{2}\Big)^2-\Big(\frac{A}{\pi}\Big)^2}}{\frac{A}{2\sqrt{2}}}\Bigg)^2-1}=\sqrt{\frac{\Big(\frac{A}{2}\Big)^2-\Big(\frac{A}{\pi}\Big)^2}{\frac{A^2}{8}}-1}=\sqrt{\frac{\frac{A^2}{2^2}-\frac{A^2}{\pi^2}}{\frac{A^2}{8}}-1}[/math]

נצמצם את A בריבוע ונקבל:

[math]THD=\sqrt{\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{\pi^2}}{\frac{1}{8}}-1}=\sqrt{8\cdot\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{\pi^2}\bigg)-1}[/math]

נפתח את הסוגריים:

[math]THD=\sqrt{2-\frac{8}{\pi^2}-1}=\sqrt{1-\frac{8}{\pi^2}}[/math]

ונקבל:

[math]THD=0.43523617825417251088943326424296 \approx 43.52\%[/math]

בדיוק כפי שקיבלנו בסעיף הקודם.


2.5 תשובה לאופיין זרם-מתח

2.5.1 מערך בדיקת אופיין זרם-מתח

בבדיקת אופיין זרם-מתח מעוניינים לראות כל אחד משני סוגי הגרפים:

  1. מתח ביחס לזרם, כלומר מתח בציר y וזרם בציר x. מקרה זה נכון עבור נגדים ואז השיפוע של הגרף מייצג את ההתנגדות.
  2. זרם ביחס למתח, כלומר זרם בציר y ומתח בציר x. מקרה זה נכון עבור דיודות ואז ניתן לראות באיזה מיקום בציר x הזרם קפץ וזה ייצג את מתח-הסף של הדיודה.

ניתן לקחת משקף תנודות בעל שני ערוצים:

  1. ערוץ 1 יראה גרף של המתח או הזרם.
  2. ערוץ 2 יראה גרף של הפרמטר השני - זרם או מתח בהתאמה.

אך דבר זה יראה לנו שני גרפים שונים בציר הזמן, כלומר תהיה כאן תצוגה פרמטרית.

במידה ולמשל מתח הכניסה הוא אות-סינוסואידלי כגון VIN(t)=sin(ωt), ובמידה והמעגל שלנו מורכב מנגד אחד בודד בעל ערך R, נקבל:

  1. בערוץ 1 את כל מתח הכניסה: VR(t)=VIN(t)=sin(ωt)
  2. ובערוץ 2 את כל הזרם במעגל: IR(t)=VIN(t)/R=sin(ωt)/R

כלומר יש לנו שני גרפים סינוסואידלים אשר היחס ביניהם הוא R.

כדי להפוך אותם לגרף אחד של V-I (מתח ביחס לזרם) ישנה פעולה שנקראת X-Y במשקף תנודות וכשבוחרים בסוג תצוגה זה - ציר הזמן נעלם ובמקומו רואים רק את ציר ה-y בתלות בציר ה-x, נפתח את הנוסחא:

במידה ובודקים נגד, נראה בציר ה-y את המתח המיושם עליו:

[math]y=V_R=sin(\omega t)[/math]

במידה ובודקים נגד, נראה בציר ה-x את הזרם העובר דרכו:

[math]x=I_R=\frac{V}{R}=\frac{sin(\omega t)}{R}[/math]

נבודד את t מתוך x:

[math]x\cdot R=sin(\omega t)[/math]

[math]arcsin(x\cdot R)=arcsin\big(sin(\omega t)\big)[/math]

[math]arcsin(x\cdot R)=\omega t[/math]

[math]t=\frac{arcsin(x\cdot R)}{\omega}[/math]

מציבים את t בפונקצייה של y ומקבלים:

[math]y=sin(\omega t)=sin\left(\omega\cdot\frac{arcsin(x\cdot R)}{\omega}\right)=[/math]

מצמצמים את ω (אומגה) ומקבלים:

[math]y=sin\left(1\cdot\frac{arcsin(x\cdot R)}{1}\right)=sin\left(arcsin(x\cdot R)\right)[/math]

ומקבלים:

[math]y=R\cdot x[/math]

שזהו y בתלות ב-x (מבחינה מתימטית), או יותר נכון את המתח על הנגד בתלות בזרם העובר דרכו (מבחינה פיזיקלית/חשמלית):

[math]V_R=R\cdot I_R[/math]

נא לשים לב לשני דברים:

  1. ה-t נעלם, כיוון שלנגד אין זכרון - תמיד המתח הרגעי עליו הוא פונקצייה של הזרם הרגעי העובר דרכו ללא תלות בזמן.
  2. ה-ω נעלם, כיוון שלא משנה מהו תדר אות-המקור - אופיין הנגד יישאר ללא שינוי.

קיבלנו כאן גרף ליניארי שהוא גם בעל יחס-ישר (עובר דרך ראשית הצירים) אשר השיפוע שלו הוא R.

או במילים אחרות, על המשקף תנודות נראה גרף מתח-זרם (V-I) של נגד אשר השיפוע שלו מייצג את ההתנגדות של הנגד.

להתנסות מעשית ניתן להשתמש בכלי אינטראקטיבי להבנה מעשית של שליפת הפרש-מופע כאשר זווית הפרש המופע היא אפס או ±360° (כיוון שבנגד אין הפרש מופע בין המתח עליו והזרם דרכו להבדיל מקבל או סליל למשל).

2.5.2 תפקיד הנגד

נתחיל בתשובה:

  1. תפקידו של הנגד R באיור 3 הוא למדוד את הזרם במעגל.
  2. נבחר גודל של 100Ω או 1kΩ.

להלן ההסבר:

  • משקף תנודות אינו מד-זרם, הוא יכול להראות רק מתחים כיוון שהתנגדות הכניסה שלו מאוד גבוהה (10MΩ) לעומת מד-זרם אשר דורש התנגדות אפסית כיוון שהוא מחובר בטור למעגל ואסור לו להשפיע על הזרם.
  • אם רוצים למדוד זרם באמצעות מדידה-עקיפה של מדידת מתח, ניתן להשתמש בחוק אוהם, כלומר:
    1. למדוד מתח VR על נגד כלשהו.
    2. הזרם העובר דרך הנגד יהיה: IR=VR/R.
  • הנגד R חייב להיות מחובר בטור למעגל. אם נחבר את R במקביל למעגל - המתח עליו יהיה מתח המקור, לעומת זאת במעגל טורי - הזרם על כל הרכיבים שווה ולכן הזרם דרך R יהיה שווה לזרם העובר בשאר המעגל.
  • מד-זרם (למעט צבת) חייב להיות מחובר בטור למעגל הנמדד, כלומר במד-זרם אידיאלי ערכו של הנגד R חייב להיות אפס כדי שההתנגדות שלו לא תשפיע על התנגדות המעגל הנמדד, אך בניסוי אשר מומחש באיור 3 אין אפשרות לשים נגד קטן מדי כיוון שככל שהנגד קטן יותר - כך גם המתח עליו יהיה קטן יותר וכך המתח אשר נמדוד עליו יהיה יותר רועש כיוון שמכשירי המדידה לא עד כדי-כך מדוייקים, לדוגמא אם הנגד הנבדק הוא 1kΩ ומתח הכניסה הוא 5V זה אומר שהזרם הוא בסה"כ 5mA, ולכן אם נשים נגד מדידת זרם (R) של 10Ω למשל - המתח עליו יהיה בקושי 50mV שזהו מתח מאוד נמוך ורועש אשר יקשה על מדידת ערכו האמיתי.
  • איזה ערכים אפשריים לנגד:
    1. רצוי ערך מעוגל של נגד כדי שנוכל לחשב בראש, בצורה אינטואיטיבית, את הזרם בהתאם לחוק אוהם.
    2. נגד R של 1Ω היה יכול להיות נגד מעולה כיוון שאז ערכו של המתח VR היה שווה בדיוק לערכו של הזרם IR=VR/R=VR/1=VR, אך בפועל נגד זה רועש מדי, בדוגמא הקודמת למשל המתח עליו היה יוצא בקושי 5mV.
    3. נגד של 1kΩ יראה לנו מתח אשר ייצג זרם בערכים של מילי-אמפר, לכן הוא מועמד טוב לנגד למדידת זרם (R). אם יצא 3 וולט לדוגמא - מיד נדע שהזרם במעגל הוא 3mA, אך הבעיה עם נגד כזה גדול יחסית שהוא ישפיע על זרם המעגל הנבדק, להבדיל ממד-זרם אידיאלי בו ההתנגדות היא אפס ואינה משפיעה על התנגדות המעגל הנבדק, כיוון שהמעגל הנבדק לא חייב להיות רכיב פשוט כגון נגד או דיודה, אלא יכול להיות מערכת גדולה ומורכבת ואז נגד גדול בטור אליה יגביל את הזרם ו/או ישנה את המתח (בגלל כלל מחלק-המתח) ולכן ישבש את פעילות המערכת.
    4. נגד של 100Ω למשל הוא מספיק קטן כדי לא להשפיע על המעגל הנבדק ומספיק גדול כדי לא להיות רועש מדי בשביל למדוד את המתח עליו, אך זה יפגע קצת באינטואיטיביות חישוב הזרם, אם יצא 3 וולט למשל - הזרם עליו הוא 30mA (ניתן לחשב בראש ש-3V זה 3mA כפול 10).
    5. מועמד טוב נוסף הינו נגד R אשר ערכו זהה לנגד הנבדק (במידה ואכן המעגל הנבדק הוא נגד) כיוון שאז השיפוע של ההתנגדות יהיה 1, כיוון שהמתח על הנגד הנבדק (ציר y) והמתח על הנגד R למדידת זרם (ציר x) הם שווים.

2.5.3 תפקיד האדמה

כדי להבין מדוע מחוברת האדמה במקום הנראה באיור 3 יש לקרוא את הפרק עבודה נכונה עם משקף-התנודות.

2.5.4 בדיקת אופיין קבל

נתחיל בתשובה:

מערך בדיקה זה מתאים להתקנים אשר אינם תלויים בתדר, כגון נגד או דיודה, בזמן שקבל (או סליל) כן תלויים בתדר.


כדי להבין מדוע לא מתאים המעגל המוצע לבדיקת אופיין של קבל ננסה לפתח את צורת הגרף אשר תופיע על-גבי המשקף תנודות במידה ונחבר קבל:

אנו נציג גרף של מתח הקבל (ציר Y):

[math]Y=V_C[/math]

ביחס לזרם העובר דרכו (ציר X):

[math]X=I_C=C\cdot V_C'=C\cdot\frac{dV_C}{dt}[/math]

כאשר C מייצג את ערכו של הקבל בפאראד.

אם אנו מחברים ספק-כוח AC בתור המקור זה אומר שהמתח על הקבל יהיה סינוסואידלי:

[math]Y=V_C=A\cdot sin(\omega t)[/math]

כאשר A מייצג את האמפליטודה בוולט.

נציב את המתח בנוסחת הזרם:

[math]X=I_C=C\cdot\frac{d(A\cdot sin(\omega t))}{dt}=C\cdot A\cdot\omega\cdot cos(\omega t)[/math]

עכשיו אנו רוצים למצוא את ערכו של Y בתלות ב-X, כלומר Y(X), אך הפעם לא נפעל כפי שפעלנו בשיטה הקודמת ע"י חילוץ t מ-X והצבתו ב-Y אלא נפעל בדרך אחרת לצמצום t:

[math]X=C\cdot A\cdot\omega\cdot cos(\omega t)[/math]

נבודד את הפונקציה הטריגונומטרית:

[math]\frac{X}{C\cdot A\cdot\omega}=cos(\omega t)[/math]

כדי לצמצם את t נצטרך להיפטר מהפונקציות הטריגונומטריות, ולכן נבודד תחילה את הפונקציה הטריגונומטרית של Y:

[math]\frac{Y}{A}=sin(\omega t)[/math]

ונקבל שתי פונקציות טריגונומטריות מהן אנו רוצים להיפטר:

[math] \begin{cases} \frac{X}{C\cdot A\cdot\omega} = cos(\omega t) \\[2ex] \frac{Y}{A} = sin(\omega t) \end{cases} [/math]

נעלה את שתי הפונקציות בריבוע:

[math] \begin{cases} \Big(\frac{X}{C\cdot A\cdot\omega}\Big)^2 = cos^2(\omega t) \\[2ex] \Big(\frac{Y}{A}\Big)^2 = sin^2(\omega t) \end{cases} [/math]

נחבר את שתי הפונקציות:

[math]\Big(\frac{X}{C\cdot A\cdot\omega}\Big)^2+\Big(\frac{Y}{A}\Big)^2=cos^2(\omega t)+sin^2(\omega t)[/math]

נשתמש בזהות הטריגונומטרית הפיתגוראית:

[math]sin^2x+cos^2x=1[/math]

ונקבל:

[math]\bigg(\frac{X}{C\cdot A\cdot\omega}\bigg)^2+\bigg(\frac{Y}{A}\bigg)^2=1[/math]

נוציא את A בתור מכנה משותף:

[math]\frac{1}{A^2}\cdot\Bigg(\bigg(\frac{X}{\omega C}\bigg)^2+Y^2\Bigg)=1[/math]

נעביר את A בריבוע לצד ימין (נכפול ב-A בריבוע):

[math]\bigg(\frac{X}{\omega C}\bigg)^2+Y^2=A^2[/math]

וקיבלנו משהו קרוב לנוסחת המעגל:

[math](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2[/math]

הערות לגבי התוצאה:

  • זה רק 'קרוב' למעגל כיוון שהיחס בין המקדמים של X ו-Y שונה מ-1, ולכן נקבל אליפסה במקום מעגל.
  • כאשר y0 ו-x0 מאופסים כפי שקורה במקרה שלנו - הצורה הזו עוברת דרך ראשית הצירים, כלומר היא ממורכזת.
  • במידה ו-ωC כן שווה ל-1 נקבל מעגל מושלם עם רדיוס A שזוהי האמפליטודה של המתח.
  • במידה ו-ωC שונה מ-1 נקבל אליפסה אשר גובהה הוא A ורוחבה הוא AωC (אם ωC>1 היא תהיה נמוכה ורחבה אחרת גבוהה וצרה).

הבעיה בתצוגה זו היא שרוחב האליפסה תלוי בתדר - ככל שהתדר יגדל כך האליפסה תתרחב יותר ביחס לגובהה, ולכן האופיין יהיה תלוי בתדר אות המקור - דבר אשר לא קורה בעת בדיקת נגד או דיודה, כלומר מערך בדיקה זה מתאים רק להתקנים אשר אינם תלויים בתדר ואילו לשם בדיקת קבל אשר כן תלוי בתדר צריך להשתמש במנגנון סריקת תדרים אשר יראה לנו את התנהגות המערכת בתלות בתדר המקור.

2.5.5 תפקיד השנאי-הבידוד

נציין רק שזה לא מומלץ להשתמש בשנאי-בידוד בניסוי זה מהסיבות הבאות:

  1. שנאי-הבידוד ינחית את היסט המתח בבדיקות FFT אשר דורשות היסט מתח.
  2. שנאי-הבידוד מנחית תדרים גבוהים, ובפרט אינו טוב עבור סריקת תדרים.
  3. שנאי-הבידוד יסרבל את בניית המעגל.
  4. שנאי-בידוד טוב אמנם עבור מקרה בו מחברים את יציאת הסינכרון מן המחולל אל המשקף תנודות אך גם על בעיה זו ניתן להתגבר באמצעות פעולת המתמטיקה של המשקף תנודות כפי שמוסבר בסעיף עבודה נכונה עם משקף-התנודות.

כדי להבין את תפקיד השנאי נא לקרוא:

  1. ערך שנאי-הבידוד.
  2. העמוד הראשון של הנספח.

3 ספרות

[1][2][3][4][5][6]

  1. 1.0 1.1 1.2 אברמוביץ' אמיר, מדידות ומכשור, מט"ח, 1996, pp. 223-226, 📖 Permalink 🔗: 002022325
  2. Herrick C.N., Instruments and Measurements for Electronics, McGraw Hill, New-York, 1972, pp 17-73, 225-292, 📖 Permalink 🔗: 001073594
  3. Wolf. S., Guide to Electronics Measurements and Laboratory Practice, Prentice Hall, New Jersey, 1983, 📖 Permalink 🔗: 001023207
  4. Roth C. H.,Use of the Oscilloscope, Prentice Hall, New Jersey, 1970, 📖 Permalink 🔗: 001146904
  5. Oliver B.M. & Cage J.M., Electronic Measurements and Instrumentation, McGraw Hill, New-York, 1971, 📖 Permalink 🔗: 001019964
  6. סמואל ע., מכשור ומידוד באלקטרוניקה, הוצאת אורט,חלק ב, 1968., 📖 Permalink 🔗: 001167599