שאלות לדוגמא תופעות מעבר: הבדלים בין גרסאות

מתוך מעבדת מבוא בחשמל
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף שאלות עבור ניסוי 5)
 
(הוספת שאלת חישוב גורם הטיב)
שורה 8: שורה 8:
  
 
[[#תשובה לחישוב מתח מעבר|תשובה]]
 
[[#תשובה לחישוב מתח מעבר|תשובה]]
 +
{{gap}}
 +
== חישוב גורם הטיב ==
 +
[[File:Ex5RLCSineNoValues.svg|thumb|left|upright=2|<figure id="fig:rlccircuit"><caption>מעגל RLC עם מקור-סינוסי ללא ערכי הרכיבים</caption></figure>]]
 +
במעגל ב<xr id="fig:rlccircuit"/> נתון שערכו של הסליל הוא 6H, ערך הקבל הוא 0.39&mu;F וערך הנגד הוא 40k&Omega;.
 +
 +
נא לחשב פי כמה גדל המתח במוצא לעומת המתח בכניסה בתדירות הטבעית של המערכת.
 +
 +
 +
[[#תשובה לחישוב גורם הטיב|תשובה]]
 
{{gap}}
 
{{gap}}
 
{{separator}}
 
{{separator}}
שורה 49: שורה 58:
  
 
<math>v_c(\tau)=11.585\,V</math>
 
<math>v_c(\tau)=11.585\,V</math>
 +
 +
== תשובה ל[[#חישוב גורם הטיב|חישוב גורם הטיב]] ==
 +
נתון בשאלה:
 +
* ערך הסליל L=6H
 +
* ערך הקבל C=0.39&mu;F
 +
* ערך הנגד R=40k&Omega;
 +
 +
רוצים לחשב את פונקציית התמסורת (מתח המוצא חלקי מתח הכניסה) בתחום התדר:
 +
 +
<math>H(j\omega)=\frac{Z_C||Z_R}{Z_C||Z_R+Z_L}</math>
 +
 +
תחילה נחשב את העכבות במקביל:
 +
 +
<math>Z_C||Z_R=\frac{1}{j\omega C}||R=\frac{\frac{1}{j\omega C}\cdot R}{\frac{1}{j\omega C}+R}</math>
 +
 +
נעשה מכנה משותף במכנה:
 +
 +
<math>Z_C||Z_R=\frac{\frac{R}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}}</math>
 +
 +
נצמצם את המכנים הזהים:
 +
 +
<math>Z_C||Z_R=\frac{R}{1+j\omega RC}</math>
 +
 +
נציב את העכבות בפונקציית התמסורת:
 +
 +
<math>H(j\omega)=\frac{\frac{R}{1+j\omega RC}}{\frac{R}{1+j\omega RC}+j\omega L}</math>
 +
 +
נעשה מכנה משותף במכנה:
 +
 +
<math>H(j\omega)=\frac{\frac{R}{1+j\omega RC}}{\frac{R+j\omega L\cdot(1+j\omega RC)}{1+j\omega RC}}</math>
 +
 +
נצמצם את המכנים המשותפים:
 +
 +
<math>H(j\omega)=\frac{R}{R+j\omega L\cdot(1+j\omega RC)}</math>
 +
 +
נפתח את הסוגריים במכנה:
 +
 +
<math>H(j\omega)=\frac{R}{R+j\omega L+j\omega L\cdot j\omega RC}</math>
 +
 +
נקבץ איברים דומים:
 +
 +
<math>H(j\omega)=\frac{R}{R+j\omega L+j^2\omega^2 RLC}</math>
 +
 +
ונקבל:
 +
 +
<math>H(j\omega)=\frac{R}{R-\omega^2 RLC+j\omega L}</math>
 +
 +
כיוון שאנו צריכים רק את האמפליטודה, ניקח את הערך המוחלט:
 +
 +
<math>|H(j\omega)|=\frac{R}{\sqrt{\left(R-\omega^2 RLC\right)^2+\left(\omega L\right)^2}}</math>
 +
 +
בהתאם לדו"ח המכין אנו יודעים את התדירות הטבעית של המערכת:
 +
 +
<math>\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}</math>
 +
 +
נציב:
 +
 +
<math>H(\omega)=\frac{R}{\sqrt{\left(R-\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)^2 RLC\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{LC}} L\right)^2}}</math>
 +
 +
נבטל את הריבוע והשורש הפנימיים:
 +
 +
<math>H(\omega)=\frac{R}{\sqrt{\left(R-\frac{1}{LC}\cdot RLC\right)^2+\left(\frac{1}{LC} L^2\right)}}</math>
 +
 +
נצמצם איברים זהים:
 +
 +
<math>H(\omega)=\frac{R}{\sqrt{\left(R-R\right)^2+\left(\frac{1}{C} L\right)}}</math>
 +
 +
נמחק את ה-R המיותר במכנה:
 +
 +
<math>H(\omega)=\frac{R}{\sqrt{\left(\frac{1}{C} L\right)}}</math>
 +
 +
ונסדר קצת את המשוואה:
 +
 +
<math>H(\omega)=R\cdot\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{L}{C}\right)}}=R\sqrt{\frac{C}{L}}</math>
 +
 +
<u>הערה</u>: זהו למעשה גורם הטיב (Q) של המעגל.
 +
 +
נציב את הערכים הנתונים:
 +
 +
<math>H(\omega)=R\sqrt{\frac{C}{L}}=40k\,\Omega\sqrt{\frac{0.39\,\mu F}{6\,H}}</math>
 +
 +
ונקבל את התשובה הסופית:
 +
 +
<math>H(\omega)=40,000\sqrt{\frac{0.39\cdot10^{-6}}{6}}=10.198</math>

גרסה מתאריך 15:29, 15 בדצמבר 2017

1 שאלות

1.1 חישוב מתח מעבר

איור 1: מעגל RC

נתון המעגל באיור 1, כאשר V=16V, V0(t=0)=4.0V.

ברגע t=0 הפעילו את המתג Sw, נא לחשב את המתח על הקבל ברגע בו t שווה לקבוע-הזמן של המעגל.


תשובה

1.2 חישוב גורם הטיב

איור 2: מעגל RLC עם מקור-סינוסי ללא ערכי הרכיבים

במעגל באיור 2 נתון שערכו של הסליל הוא 6H, ערך הקבל הוא 0.39μF וערך הנגד הוא 40kΩ.

נא לחשב פי כמה גדל המתח במוצא לעומת המתח בכניסה בתדירות הטבעית של המערכת.


תשובה

 

2 תשובות

2.1 תשובה לחישוב מתח מעבר

2.1.1 הדרך האינטואיטיבית

מבקשים לדעת את המתח לאחר קבוע זמן אחד, אנו יודעים שהקבל משנה את ערכו ב-63.2% לאחר קבוע-הזמן הראשון.

נתון שהמתח ההתחלתי הוא 4 וולט, ואילו המתח הסופי אליו הקבל שואף להגיע הוא 16 וולט.

ההפרש בין המתח ההתחלתי על הקבל והמתח הסופי הוא:

[math]\Delta V=V-V_0=16-4=12\,V[/math]

כלומר הקבל צובר 63.2% מה-12 וולט הללו אשר מתווספים למתח ההתחלתי שלו:

[math]V_{charge}=63.2\%\cdot12\,V=7.584\,V[/math]

זהו רק המתח לאחר קבוע זמן אחד אשר מתווסף לקבל, ואליו נוסיף את המתח ההתחלתי:

[math]v_c(t=\tau)=V_0+V_{charge}=4+7.584=[/math]

ומקבלים את המתח לאחר קבוע-זמן אחד:

[math]v_c(\tau)=11.584\,V[/math]

2.1.2 הדרך המתימטית

נוסחת טעינת מתח הקבל כפי שהוכחנו בשאלת מעגל RC בדו"ח מכין 5 היא:

[math]v_c(t)=V-\left(V-V_0\right)\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}[/math]

נציב את הערכים בשאלה:

[math]v_c(\tau)=16-\left(16-4\right)\cdot e^{-\frac{\tau}{\tau}}[/math]

[math]v_c(\tau)=16-12\cdot e^{-1}[/math]

[math]v_c(\tau)=16-12\cdot 0.368=16-4.415[/math]

ומקבלים את המתח לאחר קבוע-זמן אחד:

[math]v_c(\tau)=11.585\,V[/math]

2.2 תשובה לחישוב גורם הטיב

נתון בשאלה:

  • ערך הסליל L=6H
  • ערך הקבל C=0.39μF
  • ערך הנגד R=40kΩ

רוצים לחשב את פונקציית התמסורת (מתח המוצא חלקי מתח הכניסה) בתחום התדר:

[math]H(j\omega)=\frac{Z_C||Z_R}{Z_C||Z_R+Z_L}[/math]

תחילה נחשב את העכבות במקביל:

[math]Z_C||Z_R=\frac{1}{j\omega C}||R=\frac{\frac{1}{j\omega C}\cdot R}{\frac{1}{j\omega C}+R}[/math]

נעשה מכנה משותף במכנה:

[math]Z_C||Z_R=\frac{\frac{R}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}}[/math]

נצמצם את המכנים הזהים:

[math]Z_C||Z_R=\frac{R}{1+j\omega RC}[/math]

נציב את העכבות בפונקציית התמסורת:

[math]H(j\omega)=\frac{\frac{R}{1+j\omega RC}}{\frac{R}{1+j\omega RC}+j\omega L}[/math]

נעשה מכנה משותף במכנה:

[math]H(j\omega)=\frac{\frac{R}{1+j\omega RC}}{\frac{R+j\omega L\cdot(1+j\omega RC)}{1+j\omega RC}}[/math]

נצמצם את המכנים המשותפים:

[math]H(j\omega)=\frac{R}{R+j\omega L\cdot(1+j\omega RC)}[/math]

נפתח את הסוגריים במכנה:

[math]H(j\omega)=\frac{R}{R+j\omega L+j\omega L\cdot j\omega RC}[/math]

נקבץ איברים דומים:

[math]H(j\omega)=\frac{R}{R+j\omega L+j^2\omega^2 RLC}[/math]

ונקבל:

[math]H(j\omega)=\frac{R}{R-\omega^2 RLC+j\omega L}[/math]

כיוון שאנו צריכים רק את האמפליטודה, ניקח את הערך המוחלט:

[math]|H(j\omega)|=\frac{R}{\sqrt{\left(R-\omega^2 RLC\right)^2+\left(\omega L\right)^2}}[/math]

בהתאם לדו"ח המכין אנו יודעים את התדירות הטבעית של המערכת:

[math]\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}[/math]

נציב:

[math]H(\omega)=\frac{R}{\sqrt{\left(R-\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)^2 RLC\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{LC}} L\right)^2}}[/math]

נבטל את הריבוע והשורש הפנימיים:

[math]H(\omega)=\frac{R}{\sqrt{\left(R-\frac{1}{LC}\cdot RLC\right)^2+\left(\frac{1}{LC} L^2\right)}}[/math]

נצמצם איברים זהים:

[math]H(\omega)=\frac{R}{\sqrt{\left(R-R\right)^2+\left(\frac{1}{C} L\right)}}[/math]

נמחק את ה-R המיותר במכנה:

[math]H(\omega)=\frac{R}{\sqrt{\left(\frac{1}{C} L\right)}}[/math]

ונסדר קצת את המשוואה:

[math]H(\omega)=R\cdot\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{L}{C}\right)}}=R\sqrt{\frac{C}{L}}[/math]

הערה: זהו למעשה גורם הטיב (Q) של המעגל.

נציב את הערכים הנתונים:

[math]H(\omega)=R\sqrt{\frac{C}{L}}=40k\,\Omega\sqrt{\frac{0.39\,\mu F}{6\,H}}[/math]

ונקבל את התשובה הסופית:

[math]H(\omega)=40,000\sqrt{\frac{0.39\cdot10^{-6}}{6}}=10.198[/math]