שאלות לדוגמא תופעות מעבר

מתוך מעבדת מבוא בחשמל
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

1 שאלות

1.1 חישוב מתח מעבר

איור 1: מעגל RC

נתון המעגל באיור 1, כאשר V=16V, V0(t=0)=4.0V.

ברגע t=0 הפעילו את המתג Sw, נא לחשב את המתח על הקבל ברגע בו t שווה לקבוע-הזמן של המעגל.


תשובה

1.2 חישוב גורם הטיב

איור 2: מעגל RLC עם מקור-סינוסי ללא ערכי הרכיבים

במעגל באיור 2 נתון שערכו של הסליל הוא 6H, ערך הקבל הוא 0.39μF וערך הנגד הוא 40kΩ.

נא לחשב פי כמה גדל המתח במוצא לעומת המתח בכניסה בתדירות הטבעית של המערכת.


תשובה

1.3 סוגי ריסונים

איור 3: ריסון א'
איור 4: ריסון ב'
איור 5: ריסון ג'
איור 6: ריסון ד'

נא לבחור את התשובה הכי מתאימה עבור סוגי הריסון השונים.

שאלה תשובה
המספר איור של ריסון קריטי
המספר איור של ריסון יתר
המספר איור של ריסון חסר/תת-ריסון
המספר איור של חסר הפסדים
כמות סוגי הריסונים האפשריים
ריסון אשר לא מאוייר נכון בשאלה


תשובה

1.4 קריאת משקף-תנודות

איור 7: צילום מסך של המשקף-תנודות (המספרים מיועדים לעוורי-צבעים).

התמונה באיור 7 נוצרה באמצעות משקף-תנודות המחובר למעגל RC טורי.

נא לסמן את אופייני המדידה הבאים:

מאפיין מספר מאפיין סוגי מאפיינים
הגל הוורוד (1) הוא אופיין מתח
  1. מקור
  2. קבל
  3. נגד
  4. לא ידוע
הגל הירוק (2) הוא אופיין מתח
הגל הצהוב (3) הוא אופיין מתח
ניתן לראות את הגל הצהוב ע"י
  1. חיסור הגל הוורוד מהירוק
  2. מדידה ישירה בלבד
  3. חיבור הגל הוורוד והירוק
  4. חיסור הגל הירוק מהוורוד
איזה מן הגלים במצב INVERT?
  1. הצהוב
  2. הוורוד
  3. הירוק
  4. אף-אחד


תשובה

1.5 שליפת תדר בסריקת תדרים

איור 8: סריקת תדרים (קוד הגרף)

באיור 8 נתונה סריקת-תדרים מהמשקף-תנודות, כאשר נתוני המחולל-אותות הם:

  • תדר הסריקה ההתחלתי הוא 7 הרץ.
  • תדר הסריקה הסופי הוא 83 הרץ.
  • זמן הסריקה הוא 6 שניות.
  • מערכת צירים ליניארית.

שאלות:

  1. מהו סוג המסנן?
  2. מהי משרעת אות הכניסה?
  3. מהו תדר-הברך המסומן? (מספר שלם)


תשובה

1.6 שליפת מקדמים מגרף RLC

איור 9: תגובה לסריקת תדרים של מעגל RLC (קוד הגרף)

נא לחשב את הפרמטרים הבאים בהתאם לאיור 9:

  1. התדירות הטבעית של המערכת ω0 (בקפיצות של 500)
  2. מקדם הריסון α
  3. גורם הטיב Q (בדיוק של חצי)


תשובה

1.7 שליפת תדר ממעגל RC

נתון מעגל RC:

  • קבל 16.7 מיקרו-פאראד.
  • נגד 18.4 קילו-אוהם.

באיזה תדר המתח על הנגד הוא פי 8.5 גבוה יותר מאשר על הקבל?


תשובה

 

2 תשובות

2.1 תשובה לחישוב מתח מעבר

2.1.1 הדרך האינטואיטיבית

מבקשים לדעת את המתח לאחר קבוע זמן אחד, אנו יודעים שהקבל משנה את ערכו ב-63.2% לאחר קבוע-הזמן הראשון.

נתון שהמתח ההתחלתי הוא 4 וולט, ואילו המתח הסופי אליו הקבל שואף להגיע הוא 16 וולט.

ההפרש בין המתח ההתחלתי על הקבל והמתח הסופי הוא:

[math]\Delta V=V-V_0=16-4=12\,V[/math]

כלומר הקבל צובר 63.2% מה-12 וולט הללו אשר מתווספים למתח ההתחלתי שלו:

[math]V_{charge}=63.2\%\cdot12\,V=7.584\,V[/math]

זהו רק המתח לאחר קבוע זמן אחד אשר מתווסף לקבל, ואליו נוסיף את המתח ההתחלתי:

[math]v_c(t=\tau)=V_0+V_{charge}=4+7.584=[/math]

ומקבלים את המתח לאחר קבוע-זמן אחד:

[math]v_c(\tau)=11.584\,V[/math]

2.1.2 הדרך המתימטית

נוסחת טעינת מתח הקבל כפי שהוכחנו בשאלת מעגל RC בדו"ח מכין 5 היא:

[math]v_c(t)=V-\left(V-V_0\right)\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}[/math]

נציב את הערכים בשאלה:

[math]v_c(\tau)=16-\left(16-4\right)\cdot e^{-\frac{\tau}{\tau}}[/math]

[math]v_c(\tau)=16-12\cdot e^{-1}[/math]

[math]v_c(\tau)=16-12\cdot 0.368=16-4.415[/math]

ומקבלים את המתח לאחר קבוע-זמן אחד:

[math]v_c(\tau)=11.585\,V[/math]

2.2 תשובה לחישוב גורם הטיב

נתון בשאלה:

  • ערך הסליל L=6H
  • ערך הקבל C=0.39μF
  • ערך הנגד R=40kΩ

נראה שתי דרכים לפתור שאלה זו:

2.2.1 פיתוח פונקציית התמסורת

רוצים לחשב את פונקציית התמסורת (מתח המוצא חלקי מתח הכניסה) בתחום התדר:

[math]H(j\omega)=\frac{Z_C||Z_R}{Z_C||Z_R+Z_L}[/math]

תחילה נחשב את העכבות במקביל:

[math]Z_C||Z_R=\frac{1}{j\omega C}||R=\frac{\frac{1}{j\omega C}\cdot R}{\frac{1}{j\omega C}+R}[/math]

נעשה מכנה משותף במכנה:

[math]Z_C||Z_R=\frac{\frac{R}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}}[/math]

נצמצם את המכנים הזהים:

[math]Z_C||Z_R=\frac{R}{1+j\omega RC}[/math]

נציב את העכבות בפונקציית התמסורת:

[math]H(j\omega)=\frac{\frac{R}{1+j\omega RC}}{\frac{R}{1+j\omega RC}+j\omega L}[/math]

נעשה מכנה משותף במכנה:

[math]H(j\omega)=\frac{\frac{R}{1+j\omega RC}}{\frac{R+j\omega L\cdot(1+j\omega RC)}{1+j\omega RC}}[/math]

נצמצם את המכנים המשותפים:

[math]H(j\omega)=\frac{R}{R+j\omega L\cdot(1+j\omega RC)}[/math]

נפתח את הסוגריים במכנה:

[math]H(j\omega)=\frac{R}{R+j\omega L+j\omega L\cdot j\omega RC}[/math]

נקבץ איברים דומים:

[math]H(j\omega)=\frac{R}{R+j\omega L+j^2\omega^2 RLC}[/math]

ונקבל:

[math]H(j\omega)=\frac{R}{R-\omega^2 RLC+j\omega L}[/math]

כיוון שאנו צריכים רק את האמפליטודה, ניקח את הערך המוחלט:

[math]|H(j\omega)|=\frac{R}{\sqrt{\left(R-\omega^2 RLC\right)^2+\left(\omega L\right)^2}}[/math]

בהתאם לדו"ח המכין אנו יודעים את התדירות הטבעית של המערכת:

[math]\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}[/math]

נציב:

[math]H(\omega)=\frac{R}{\sqrt{\left(R-\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)^2 RLC\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{LC}} L\right)^2}}[/math]

נבטל את הריבוע והשורש הפנימיים:

[math]H(\omega)=\frac{R}{\sqrt{\left(R-\frac{1}{LC}\cdot RLC\right)^2+\left(\frac{1}{LC} L^2\right)}}[/math]

נצמצם איברים זהים:

[math]H(\omega)=\frac{R}{\sqrt{\left(R-R\right)^2+\left(\frac{1}{C} L\right)}}[/math]

נמחק את ה-R המיותר במכנה:

[math]H(\omega)=\frac{R}{\sqrt{\left(\frac{1}{C} L\right)}}[/math]

ונסדר קצת את המשוואה:

[math]H(\omega)=R\cdot\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{L}{C}\right)}}=R\sqrt{\frac{C}{L}}[/math]

הערה: זהו למעשה גורם הטיב (Q) של המעגל.

נציב את הערכים הנתונים:

[math]H(\omega)=R\sqrt{\frac{C}{L}}=40k\,\Omega\sqrt{\frac{0.39\,\mu F}{6\,H}}[/math]

ונקבל את התשובה הסופית:

[math]H(\omega)=40,000\sqrt{\frac{0.39\cdot10^{-6}}{6}}=10.198[/math]

2.2.2 שימוש בפונקצייה הקנונית

אנו יודעים שהיחס בין מתח המוצא ומתח הכניסה בתדר-התהודה הוא גורם הטיב, אשר מחושב בהתאם לנוסחא הבאה:

[math]Q=\frac{\omega}{2\alpha}[/math]

בהתאם למשוואה האופיינית של מעגל RLC אנו יודעים את גורם-הריסון:

[math]\alpha=\frac{1}{2RC}[/math]

ואת התדירות הטבעית של המערכת:

[math]\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}[/math]

נציב שני ערכים אלו במשוואת גורם הטיב:

[math]Q=\frac{\frac{1}{\sqrt{LC}}}{2\cdot\frac{1}{2RC}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{LC}}}{\frac{1}{RC}}=\frac{RC}{\sqrt{LC}}=R\frac{C}{\sqrt{LC}}[/math]

נעלה את המונה בריבוע ונכניס אותו לשורש:

[math]Q=R\sqrt{\frac{C^2}{LC}}[/math]

ונקבל את אותה המשוואה בדיוק כמו קודם:

[math]Q=R\sqrt{\frac{C}{L}}[/math]

וכל שנשאר זה להציב את הנתונים בשאלה כפי שעשינו בסוף הסעיף הקודם.

2.3 תשובה לסוגי ריסונים

שאלה תשובה הסבר
המספר איור של ריסון קריטי ב' - איור 4 רואים שהוא מאוד קרוב לאות המקור, אך בלי תנודות אשר עוברות את מתח המקור.
RLCundamped.png
המספר איור של ריסון יתר א' - איור 3 רואים שהוא ממש מונחת, כמעט כמו משולש ישר זווית ביחס לאות המקור, לכן נעשה פה יתר על המידה של ריסון.
המספר איור של ריסון-חסר/תת-ריסון ג' - איור 5 כאן רואים כבר שיש קצת תנודות אשר גבוהות יותר ממתח המקור, לכן כאן זה כבר ריסון נמוך יותר (מקדם הריסון נמוך יותר) מאשר ריסון קריטי וזה נקרא ריסון-חסר.
המספר איור של חסר הפסדים ד' - איור 6 רואים גל סינוס אשר רוכב על אות המקור, כלומר אין הנחתה ולכן אין הפסדים.
כמות סוגי הריסונים האפשריים 4 למעשה ישנם רק 3 סוגי ריסונים כאשר ריסון חסר-הפסדים (גל סינוסי) זוהי תת-קטגוריה של ריסון-חסר/תת-ריסון, אך נחשיב גם את ריסון חסר-הפסדים בתור קטגוריה בפני עצמה כיוון שאין דבר כזה במציאות - לכל קבל או סליל קיימת התנגדות פרזיטית אשר תהפוך מעגל LC חסר-הפסדים למעגל RLC מעשי שמוגדר בתור ריסון-חסר.
ריסון אשר לא מאוייר נכון בשאלה ד' ריסון ד' אמור להיות חסד-הפסדים אך רואים בבירור שקיימת הנחתה ולכן זהו לא ריסון חסר-הפסדים אלא ריסון-חסר. כפי שהוסבר בתשובה לסעיף הקודם, לכל ריסון חסר-הפסדים יש ריסון כלשהו בפועל. באיור 6 אשר בשאלה מצויירת המערכת עם נגד של 1MΩ ולכן רואים את ההנחתה בבירור, אך באיור בצד שמאל הנגד הוא 1GΩ ולכן נצטרך לחכות זמן ארוך יותר בהרבה כדי לראות את ההנחתה אשר חייבת להתרחש בסופו של דבר במעגל מעשי.

2.4 תשובה לקריאת משקף-תנודות

מאפיין מספר מאפיין הסבר סוגי מאפיינים
הגל הוורוד (1) הוא אופיין מתח 2 מתח הקבל אינו יכול להשתנות במהירות (לעומת הזרם שלו אשר מיוצג ע"י נגזרת) לכן הוא חייב להיות הגל היחיד אשר משתנה באיטיות שזהו הגל הוורוד.
  1. מקור
  2. קבל
  3. נגד
  4. לא ידוע
הגל הירוק (2) הוא אופיין מתח 3 מתח הנגד הוא יחסי לזרם המעגל (בהתאם לחוק אוהם) וכיוון שזהו מעגל טורי - זרם-הנגד זהה לזרם-הקבל אשר מחושב עפ"י הנגזרת אשר משתנה במהירות (עם קפיצות) ולכן זה חייב להיות רק הגל הירוק.
הגל הצהוב (3) הוא אופיין מתח 1 כיוון שיש לנו רק מעגל RC עם רכיבים פסיביים זה בלתי אפשרי ליצור גל-ריבועי איתם ולכן הגל-הריבועי חייב להיות שייך למקור-הכוח שזהו הגל הצהוב.
ניתן לראות את הגל הצהוב ע"י 3 לפי KVL - מתח-המקור שווה לסכום מתחי הקבל והנגד, ואם ענינו נכונה על התשובות הקודמות אזי מתח-המקור (הצהוב) הוא הסכום של מתח-הקבל (הגל-הוורוד) ומתח-הנגד (הגל הירוק)
  1. חיסור הגל הוורוד מהירוק
  2. מדידה ישירה בלבד
  3. חיבור הגל הוורוד והירוק
  4. חיסור הגל הירוק מהוורוד
איזה מן הגלים במצב INVERT? 4 אף-אחד מהגלים אינו במצב Invert כיוון שאם מסתכלים בצד שמאל למעלה של איור 7, הספרות 1 ו-2 אשר מייצגות את ערוצים אחד ושניים בהתאמה אינן מסומנות עם גג מעליהן ולכן אף-אחת מהן לא במצב Invert.
  1. הצהוב
  2. הוורוד
  3. הירוק
  4. אף-אחד

2.5 תשובה לשליפת תדר בסריקת תדרים

2.5.1 סוג המסנן

אם נתבונן באיור 8, נראה שהוא עולה מצד שמאל לצד ימין.

תמיד סריקת התדרים מתחילה משמאל לימין, כלומר התדר הכי נמוך בצד שמאל, והתדר הכי גבוה בצד ימין.

זה אומר שהתדרים הגבוהים (בצד ימין) הם בעלי משרעת גבוהה יותר מאשר התדרים הנמוכים (בצד שמאל).

כלומר, בהנחה שמשרעת אות הכניסה בכל התדרים היא קבועה, זהו מסנן אשר כן מעביר תדרים גבוהים ומנחית את התדרים נמוכים.

לכן מסנן זה נקרא באחת מן האפשרויות הבאות:

הערה: אם הגרף היה יורד, הוא היה נקרא LPF - Low Pass Filter או מסנן מעביר נמוכים.

2.5.2 משרעת אות הכניסה

אנו יודעים שתדר הברך במסנן הוא התדר בו ההספק יורד פי שניים, כלומר המתח יורד פי שורש שתיים, ולכן:

[math]A=\frac{V_{IN}}{\sqrt2}[/math]

נעשה שינוי נושא נוסחא:

[math]V_{IN}=A\cdot\sqrt2[/math]

לפי איור 8 משרעת תדר הברך היא [math]A=7.42462\,V[/math], נציב ונקבל:

[math]V_{IN}=7.42462\,V\cdot\sqrt2=10.5\,V[/math]

2.5.3 תדר הברך

רואים באיור 8 שני מציינים לתדר הברך:

  1. מיקום בזמן (האות c מציינת cursor מלשון סמן): [math]t_c=3.39474\,s[/math]
  2. משרעת תדר הברך: [math]A=7.42462\,V[/math]

בנוסף, הנתונים הבאים קיימים בשאלה:

  1. תדר הסריקה ההתחלתי: [math]f_0=7\,Hz[/math]
  2. תדר הסריקה הסופי: [math]f_T=83\,Hz[/math]
  3. זמן הסריקה: [math]T=6\,s[/math]
  4. סוג הסריקה: ליניארית.

כיוון שהסריקה היא ליניארית, זה אומר שטווח התדרים בין 7 ל-83 מתחלק בצורה ליניארית על מסך הסקופ, כלומר:

  • מיקום t=0, שזהו קצה המסך השמאלי, מייצג את תדר 7 הרץ.
  • מיקום t=6, שזהו קצה המסך הימני, מייצג את תדר 83 הרץ.

לכן מיקום t=3 שניות למשל יהיה בדיוק באמצע, שזה הממוצע של 7 ו-83 (שזה 45 הרץ).

איך מחשבים את זה?

אנו צריכים להפוך את ציר הזמן (של הסקופ) לציר התדר (של המחולל), וזאת עושים ע"י מציאת היחס בין התדר והזמן (מסומן ב-r מלשון ratio):

[math]r=\frac{f_T-f_0}{T}=\frac{83-7}{6}=12.67\,\frac{Hz}{s}[/math]

כאן מצאנו שכל שנייה בציר X מייצגת עלייה של 12.67 הרץ.

אם למשל נרצה לחשב את הזמן של t=3 נראה שיוצא לנו:

[math]f=t\cdot r=3\cdot 12.67=38\,Hz[/math]

זה שונה מהערך הממוצע שחישבנו קודם בצורה אינטואיטיבית, למה? כיוון ששכחנו להוסיף את התדר ההתחלתי.

לכן אם מוסיפים את ה-7 הרץ מקבלים את הערך שאמור לצאת עבור החצי:

[math]f=38+7=45\,Hz[/math]

כלומר, כדי לחשב את התדר משתמשים בנוסחא:

[math]f=\left(f_T-f_0\right)\cdot\frac{t_c}{T}+f_0[/math]

מציבים את כל הערכים ומקבלים את התשובה לסעיף:

[math]f=\left(83-7\right)\cdot\frac{3.39474}{6}+7=50\,Hz[/math]

2.6 תשובה לשליפת מקדמים מגרף RLC

איור 10: מעגל RLC מקבילי

הגרף באיור 9 מבוסס על המעגל שהכרנו מהדו"ח המכין, שם (ובמהלך הניסוי) היה לנו מעגל הדומה למעגל באיור 10.

2.6.1 שליפת גורם הטיב Q

נשים לב מה קורה כאשר מחברים DC למעגל:

  • DC זהו למעשה גל AC שהתדר שלו הוא אפס הרץ (0Hz).
  • הסליל אשר מורכב מחוט מלופף אינו מתפקד ב-DC, ואם מסתכלים על העכבה שלו רואים שהיא jωL=j2πf=j2π·0=0Ω, כלומר הסליל משמש בתור קצר ב-DC.
  • הקבל בדיוק להיפך מסליל, נוסחת העכבה שלו היא הנוסחא ההופכית לסליל ולכן בתדר 0 (ב-DC) העכבה שלו היא אינסופית, כלומר הקבל משמש בתור נתק ב-DC.
  • לכן המעגל באיור 10 הופך למעגל ללא רכיבים היגביים, כלומר זהו בסך-הכל מקור מתח (DC) המחובר לנגד (R).

מסקנה: ב-DC, המעגל באיור 10 מוציא את מתח הכניסה.

כלומר אם נסתכל על הגרף באיור 9, נראה שהציר האופקי המייצג את התדר מתחיל מתדר 0, שזהו DC, ומסתיים בתדר סופי כלשהו. לכן המתח בצד שמאל של הגרף מציין את מתח הכניסה כאשר הסליל והקבל מנוטרלים (בתדר אפס), כלומר:

[math]V_{IN}=1.5\,V[/math]

יש לזכור שבסריקת התדרים מכניסים למבוא המעגל תדרים משתנים אך מתח קבוע. המתח שמצאנו, 1.5 וולט, הינו המתח הקבוע של סריקת התדרים.

קצת קשה להבין שזה אחד וחצי וולט מהגרף, אך רואים בוודאות שזה לא 1, ורואים בוודאות שזה לא 2, לכן זה צריך להיות משהו באמצע בערך (השאלה הזו נועדה לבדוק אם הסטודנט יודע לקרוא גרף).

הדבר הבא שנצטרך בשביל גורם הטיב הוא מתח השיא. אנו רואים בוודאות לפי הגרף באיור 9 שמתח השיא הוא:

[math]V_{out}\left(\omega_0\right)=12\,V[/math]

בשאלת חישוב גורם הטיב ראינו שהיחס בין מתח המוצא למתח הכניסה בתדר התהודה מניב את גורם הטיב:

[math]Q=\frac{V_{out}\left(\omega_0\right)}{V_{IN}}=\frac{12}{1.5}[/math]

וקיבלנו את התשובה של גורם הטיב:

[math]Q=8[/math]

הערה: אם יצא ערך לא כל-כך מדוייק, יש לזכור שבשאלה כתוב שהדיוק הוא חצי, לכן זה יכול להיות רק 7.5, 8 או 8.5.

2.6.2 התדירות הטבעית של המערכת

האתגר הבא שלנו הוא למצוא את תדירות התהודה הזוויתית ω0, למה זה אתגר?

  1. האתגר הראשון הוא לקרוא את ציר X המייצג את התדירות הזוויתית אשר קצת קשה לקריאה. אם נבחן בדקדקנות את הגרף נוכל לראות שהמשבצת הראשונה מצד שמאל מציינת תדירות זוויתית של 2000 ראד לשניה, המשבצת הבאה 4000, ולכן המשבצת בה נמצא השיא של הגרף נמצאת בין 14,000 ל-16,000 ראדיאנים לשנייה.
  2. האתגר השני והלא פחות קשה הוא להבין מהו הערך המדוייק של שיא הגרף:
    • דיוק הגרף כפי שנתון בשאלה הוא בקפיצות של 500 (ראד לשנייה).
    • 14,000 זה לא יכול להיות, כיוון שהגרף מראה את ωd, בזמן שאנו רוצים את ω0, ואנו יודעים ש-ω0 הוא קצת גדול יותר מ-ωd אותו רואים בגרף, או במילים אחרות: ωd צריך להיות מצד שמאל של ω0, ולכן אם ωd קצת גדול מ-14,000 קל וחומר ω0.
    • 15,000 נמצא בדיוק במרכז המשבצת, לכן יכול לשמש בתור יעד.
    • 14,500 נמצא בדיוק באמצע בין 14,000 ו-15,000 ואם נספור את הנקודות, נראה שקיימות 5 נקודות בתוך המשבצת, ואם הרוחב שלה הוא 2000, אז כל נקודה מייצגת 400 (ראד לשנייה), ולכן השיא נמצא על 14,400 שזה בערך ωd ולכן ה-ω0 צריך להיות קצת גדול יותר.

כלומר:

[math]\omega_0=14,500\,\frac{rad}{s}[/math]

2.6.3 גורם הריסון

את גורם הריסון מחשבים מרוחב הפס:

[math]\alpha=\frac{\Delta\omega}{2}[/math]

אך אין לנו את רוחב הפס עדיין, לכן אותו מחשבים מגורם הטיב:

[math]Q=\frac{\omega_0}{\Delta\omega}[/math]

שולפים את רוחב הפס ע"י שינוי נושא נוסחא:

[math]\Delta\omega=\frac{\omega_0}{Q}[/math]

מציבים את שני הערכים מהסעיפים הקודמים:

[math]\Delta\omega=\frac{14,500}{8}=1812.5\,\frac{rad}{s}[/math]

זהו רוחב הפס הזוויתי, כלומר:

  • גובה המתח המירבי (השיא) הוא 12 וולט, אם מחלקים אותו בשורש 2 מגיעים בערך ל-8.5 וולט.
  • המרחק בין מיקום 8.5 וולט מצד שמאל לשיא, ועד מיקום 8.5 וולט מצד ימין לשיא, הוא בערך מרחק של קובייה אחת אשר שווה ל-2000 ראד לשנייה, והוא בדיוק הערך Δω=1812.5

עכשיו נותר להציב את הערך שמצאנו בנוסחא של גורם הריסון:

[math]\alpha=\frac{1812.5}{2}=906.25[/math]

2.7 תשובה לשליפת תדר ממעגל RC

בשאלה נתון שהיחס בין מתח הנגד ומתח הקבל הוא 8.5:

[math]\frac{V_R}{V_C}=8.5[/math]

ישנן שתי דרכים לחשב את היחס הזה:

2.7.1 שימוש בתוצאות הדוח המכין

הדרך הראשונה באמצעות הדו"ח המכין שאלת מעגל RC בה חישבנו את מתח הקבל ומתח הנגד:

[math]V_C(\omega)=V_{IN}\cdot\frac{1}{\sqrt{\left(\omega RC\right)^2+1}}[/math]

[math]V_R(\omega)=V_{IN}\cdot\frac{\omega RC}{\sqrt{\left(\omega RC\right)^2+1}}[/math]

נשים לב שמתח המבוא VIN חלקי המכנה זהה בשני הרכיבים ולכן ניתן לצמצם אותו ולקבל את היחס:

[math]\frac{\omega RC}{1}=\omega RC=8.5[/math]

2.7.2 חישוב באמצעות מחלק מתח

הדרך השנייה באמצעות מציאת הזרם במעגל:

[math]I=\frac{V_{IN}}{Z}[/math]

כרגע לא נחשב את Z (למרות שאנו יודעים לחשב אותו - סכום העכבות במעגל), נמשיך בחישוב מתח הקבל:

[math]V_C=I\cdot Z_C=I\cdot\frac{1}{j\omega C}=\frac{I}{j\omega C}[/math]

ומתח הנגד:

[math]V_R=I\cdot Z_R=I\cdot R[/math]

והיחס בין הנגד והקבל כפי שנדרש בשאלה הוא:

[math]\frac{V_R}{V_C}=\frac{I\cdot R}{\frac{I}{j\omega C}}=j\omega RC[/math]

אך כיוון שאנו צריכים רק את הגודל, ניקח את הערך המוחלט:

[math]\frac{V_R}{V_C}=\omega RC=8.5[/math]

לאחר שבחרנו באחת משתי הדרכים הנ"ל למצוא את היחס, נמשיך עם פתרון השאלה.

כיוון שבשאלה ביקשו את התדר, ולא את התדר הזוויתי, צריך לפתוח את ω:

[math]2\pi\cdot f\cdot RC=8.5[/math]

נשלוף את התדר:

[math]f=\frac{8.5}{2\pi\cdot RC}[/math]

נציב את הערכים הנתונים בשאלה:

[math]f=\frac{8.5}{2\pi\cdot18.4\cdot10^3\cdot16.7\cdot10^{-6}}[/math]

ונקבל את התדר בו מתח הנגד גדול פי 8.5 מאשר מתח הקבל:

[math]f=4.403\,Hz[/math]