שאלות לדוגמא רשתות תלת פאזיות: הבדלים בין גרסאות

מתוך מעבדת מבוא בחשמל
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ (הערה לגבי קירכהוף)
מ (הורדת סוגריים)
שורה 657: שורה 657:
 
=== הדרך המהירה - באמצעות מחשבון ===
 
=== הדרך המהירה - באמצעות מחשבון ===
  
כיוון שסך הזרמים הנכנסים לצומת (ויוצאים ממנו) הוא אפס, נפתור את המשוואה הבאה:
+
כיוון שסך הזרמים הנכנסים לצומת ויוצאים ממנו הוא אפס, נפתור את המשוואה הבאה:
  
 
<math>I_R+I_S+I_T=0</math>
 
<math>I_R+I_S+I_T=0</math>

גרסה מתאריך 15:57, 6 באפריל 2019

תוכן עניינים

1 שאלות

1.1 חישוב הספק ברשת תלת-פאזית מאוזנת

איור 1: דוגמא לקריאה של המד-הספק האנלוגי

נא לחשב את ההספק הכולל במערכת תלת-פאזית מאוזנת כאשר קיבלנו את התמונה במכשיר באיור 1.

לשים לב:

  1. ההספק P במד-הספק האנלוגי מחושב עפ"י הנוסחא הרשומה בחלון הראשי שלו.
  2. תזוזת המחט (Deflection) היא ערך בין 0 ל-1
  3. שמונת ערכי בורר-הזרם (AMPS) הם: 0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 10
  4. שמונת ערכי בורר-המתח (VOLTS) הם: 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000


תשובה

1.2 חישוב הספק ברשת תלת-פאזית לא מאוזנת

איור 2: חיבור בשיטת ארון עם שני מדי הספק

נא לחשב את ההספק הכולל במערכת תלת-פאזית לא מאוזנת כאשר ידועים הדברים הבאים:

  1. המדידה בוצעה בשיטת ארון כפי שרואים באיור 2.
  2. חוברו שני מדי-הספק אנלוגיים מהסוג שרואים באיור 1 אך עם ערכים שונים.
  3. מד ההספק העליון חובר בין פאזה R ל-S, מכוון על VOLTS=100, על AMPS=10, וה-Deflection שלו מצביע על 0.72
  4. מד ההספק התחתון חובר בין פאזה T ל-S, מכוון על VOLTS=50, על AMPS=5, וה-Deflection שלו מצביע על 0.34


תשובה

1.3 משולש הספקים

נתון משולש ההספקים בו ההספק הפעיל הוא 8 וואט וההספק העיוור הוא ‎14.4 var, נתון שהשגיאה של מקדם ההספק היא 1 פחות גורם ההספק.

מה יהיה ההספק המדומה באם נשפר ב-27% את השגיאה?


תשובה

1.4 חישובי דיאגרמה פאזורית

קיים שקע בעל 16 פאזות שונות בעלות הפרש מופע קבוע. אם נחבר התקן חשמלי בין פאזה כלשהי לנקודה הניטרלית יפול עליו מתח אפקטיבי של 28 וולט, איזה מתח יתקבל אם נחבר את אותו ההתקן החשמלי בין פאזה 1 ל-5?


תשובה

1.5 סיכום מדידות חשמליות

נא למלא בטבלה מטה את מספרי המכשירים אשר מייצגים כיצד מודדים כל אחד מהערכים.

הערה: מותר להשתמש בכל מכשיר-מדידה אך ורק פעם אחת.

ערך חשמלי מספר מכשיר מכשירים
גורם הספק  
  1. זווית הפרש-מופע
  2. זרם x מתח
  3. טכומטר
  4. מד-הספק
  5. מד-התנגדות
  6. מד-זוית
  7. מד-זרם
  8. מד-מתח
  9. מדידות-עקיפות
  10. מונה-גייגר
  11. פדומטר
  12. משפט-פיתגורס
  13. רב-מודד
  14. שתי-נורות וקבל
הספק מדומה  
הספק עיוור  
הספק פעיל  
השראות  
התנגדות  
זרם  
מתח  
סדר פאזות נכון  
קיבול  


תשובה

1.6 מדידת התנגדות והשראות של סליל נתון

נתון מעגל טורי של סליל אידיאלי ונגד,כאשר מעבירים מתח-ישר של 7 וולט מקבלים זרם של 9 אמפר במעגל.

כאשר מעבירים מתח-חילופין בתדר 6853 הרץ, נופל על הסליל חצי ממתח הכניסה.

מהי השראות הסליל?


תשובה

1.7 תיקון מקדם-הספק

קיים צרכן המורכב מנגד R=1260Ω וסליל L=126H המחובר לרשת-חשמל בעלת תדר של 12.6kHz, כיצד ניתן לתקן את מקדם-ההספק ל-0.126 באופנים הבאים:

  1. איזה נגד נדרש להוסיף בטור למערכת?
  2. איזה קבל נדרש להוסיף במקביל למערכת?
  3. לאיזה תדר ניתן לשנות את המערכת?


תשובה

1.8 סוגי חיבורים במערכת תלת-פאזית

איזה שני סוגי חיבורים עיקריים קיימים במערכת תלת-פאזית?

  1. איך הם נקראים?
  2. באיזה אות מסמנים אותם?
  3. כמה חוטים מתחברים לכל חיבור?
  4. אם מתח הרשת הוא 30V מה יהיה המתח על כל רכיב בהנחה שהעכבות זהות?
  5. מה הזרם על כל רכיב בשני החיבורים במידה וכל עכבה היא 60Ω?
  6. מה ההספק על כל רכיב בכל אחד מהחיבורים?
  7. מהו ההספק הכללי בכל אחד מהחיבורים?
  8. שאלת בונוס: מה הזרם המסופק מכל אחד משלושת מקורות-הכוח?


תשובה

1.9 מקדם-הספק של מערכת ממותגת

קיים אות בעל המאפיינים הבאים:

  1. מתח סינוסי (בצורת סינוס).
  2. זרם ריבועי (בצורת גל-ריבועי).
  3. הפרש המופע בין שני האותות הוא אפס, כלומר φ=0
  4. גודל האותות ב-RMS הוא 1 וולט.

נא לחשב את מקדם-הספק.

תשובה

1.10 חישוב פאזורי בהתאם לגרף

איור 3: דיאגרמה פאזורית של מערכת רב-מופעית (קוד הגרף)

באיור 3 נתונה מערכת רב-מופעית בעלת מתחים שונים, מהו ההפרש הפאזורי?

הערות:

  1. שני הווקטורים אותם יש לחסר הם בעלי ראש חץ.
  2. המספרים (13 ו-10) בראש החץ מציינים את המתח/זרם (גודל) של החצים.
  3. התשובה היא מספר אי-שלילי.

תשובה

1.11 חישוב פאזורי - מציאת V0

איור 4: מערכת חיבור כוכב בעלת עומסים בערכים המצויינים
(קוד הגרף)

באיור 4 נתונה מערכת חיבור כוכב בעלת עומסים בהתאם לערכים המצויינים באיור. מהו הפוטנציאל בנקודת האמצע אם מתח המבוא לכל פאזה הוא 32 וולט?

הערה: למקרה שלא רואים טוב את המספרים, ההתנגדויות הן בקפיצות של 100 אוהם.

תשובה

 

2 תשובות

2.1 תשובה לחישוב הספק ברשת תלת-פאזית מאוזנת

בהנחה שמד-ההספק מכוייל, מקבלים את המאפיינים הבאים:

  1. סטיית המחט (Deflection) מצביעה על 0.08
  2. בורר הזרם (AMPS) מצביע על 0.1
  3. בורר המתח (VOLTS) מצביע על 5

ולכן ההספק אותו מציין המכשיר, בהתאם לנוסחא הרשומה על המסך שלו, הוא: [math]P=Deflection\cdot AMPS\cdot VOLTS=0.08\cdot0.1\cdot5=0.04\,Watt[/math]

אך בשאלה ביקשו את ההספק הכולל, אנו יודעים כמה דברים:

  1. ההספק שנמדד זהו ההספק על פאזה אחת בלבד.
  2. ישנן שלוש פאזות במערכת תלת-פאזית.
  3. כיוון שהמערכת מאוזנת (כפי שרשום בשאלה) - ההספק על כל אחת מהפאזות זהה.

לכן ההספק הכולל הוא פי 3 ממה שמציין המכשיר, ולכן ההספק הוא [math]P_{TOTAL}=3\cdot P=3\cdot0.04=0.12\,Watt[/math]

2.2 תשובה לחישוב הספק ברשת תלת-פאזית לא מאוזנת

כיוון שהחיבור הנ"ל זהו חיבור ארון טיפוסי, אנו יודעים שסך ההספק הכולל במערכת הוא סכום שני הערכים, ולכן, בהתאם לנוסחא הרשומה על המסך שלו כפי שרואים באיור 1: [math]P_{TOTAL}=P_1+P_2=0.72\cdot10\cdot100+0.34\cdot5\cdot50=720+85=805\,Watt[/math]

2.3 תשובה למשולש הספקים

איור 5: משולש הספקים על מנת להקל את החישובים

נתון בשאלה:

  1. ההספק הפעיל: [math]P=8\,Watt[/math]
  2. ההספק העיוור: [math]Q=14.4\,var[/math]

ניתן להיעזר באיור 5 על-מנת להבין את היחסים הטריגונומטריים בין ההספקים השונים.

כלומר אנו יודעים שהמקדם הספק של המעגל הוא:

[math]Power Factor=PF=cos\varphi=\frac{P}{S}=\frac{P}{\sqrt{P^2+Q^2}}=\frac{8}{\sqrt{8^2+14.4^2}}=0.486[/math]

דורשים בשאלה לשפר ב-27% את השגיאה. כאשר נתון בשאלה:

[math]Error=1-PF=1-0.486=0.514[/math]

אם היינו למשל משפרים את השגיאה ב-100% - השגיאה הייתה מתאפסת:

[math]New Error=Error-Error\cdot100\%=Error-Error=0[/math]

אך אנו משפרים אותה רק ב-27%, ולכן:

[math]New Error=Error-Error\cdot27\%=0.514-0.514\cdot0.27=0.375[/math]

ועכשיו אם נרצה לחזור לגורם ההספק, נעשה שינוי נושא נוסחא ונקבל:

[math]PF=1-New Error=1-0.375=0.625=cos\varphi[/math]

ומכאן ניתן לשלוף בחזרה את ההספק המדומה אותו דורשים, בהתאם לכללי הטריגונומטריה (ואיור 5):

[math]P=S\cdot\cos\varphi[/math]

הערה חשובה: אנו לא משתמשים ב-Q כדי לחשב את S כיוון ש-Q משתנה בעת תיקון-הספק, ואילו P תמיד נשאר קבוע.

כלומר:

[math]S=\frac{P}{cos\varphi}=\frac{P}{PF}=\frac{8}{0.625}[/math]

ומקבלים:

[math]S=12.81\,VA[/math]

על-מנת לבדוק שהתשובה אכן הגיונית, עושים את הפעולות הבאות:

  1. ה-S המקורי היה [math]S=\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{8^2+14.4}=16.473\,VA[/math], כלומר ה-S עכשיו נמוך יותר ולכן זה אומר שאכן שיפרנו אותו ולכן התשובה הגיונית.
  2. ה-S החדש גדול יותר מה-P, זה שוב הגיוני כיוון שבמשולש (כפי שרואים באיור 5) זה בלתי אפשרי שהיתר (S) יהיה קטן מאחת הצלעות (P), למרות שזה אפשרי שהוא יהיה קטן מ-Q המקורי כיוון ששיפרנו אותו (בזמן ש-P תמיד נשאר קבוע).
  3. רואים שהמקדם הספק עלה מ-0.486 ל-0.625 שזה הגיוני כיוון שבעת שיפור המקדם הספק הוא אמור לגדול (בערך מוחלט) כאשר הערך האידיאלי התיאורטי הוא 1 (הערך האידיאלי המעשי הוא קצת פחות מ-1 כיוון שדרוש הספק-עיוור בשביל לייצב את אספקת החשמל למעגל כפי שלמדנו/נלמד בניסוי 8 - מעגלי יישור וסינון).

2.4 תשובה לחישובי דיאגרמה פאזורית

נתון בשאלה שיש לנו 16 פאזות עם הפרש קבוע, לכן זווית כל פאזה היא:

[math]\varphi=\frac{360^\circ}{N}=\frac{360^\circ}{16}=22.5^\circ[/math]

נתון שמתח-הפאזה (המתח בין פאזה כלשהי לנקודה הניטרלית) הוא 28V, כלומר יש לנו דיאגרמה פאזורית אשר בה יש 16 קווים בגודל של 28V עם הפרש של 22.5° ביניהם.

עכשיו בשאלה צריך לחשב את המתח בין הפאזה ה-1 וה-5, לכן הצעד הראשון יהיה לחשב את מיקומי x,y של כל אחת מהפאזות:

[math]Y_1=V\cdot\sin(1\cdot\varphi)=28\cdot\sin(1\cdot22.5^\circ)=10.715[/math]

[math]X_1=V\cdot\cos(1\cdot\varphi)=28\cdot\cos(1\cdot22.5^\circ)=25.869[/math]

[math]Y_5=V\cdot\sin(5\cdot\varphi)=28\cdot\sin(5\cdot22.5^\circ)=25.869[/math]

[math]X_5=V\cdot\cos(5\cdot\varphi)=28\cdot\cos(5\cdot22.5^\circ)=-10.715[/math]

הערות:

  1. הפאזה הראשונה בדר"כ מוגדרת באופן שרירותי, וכל שאר הפאזות יחסיות אליה. הדרך הכי נכונה תהיה דווקא להגדיר את הפאזה הראשונה בתור 0 (והפאזה השנייה בתור 4) אשר תיתן זווית-מופע של 0° כיוון שזה יקל מאוד על החישובים, אך הגדרנו אותה בתור 1 כדי להבליט את מספר הפאזה.
  2. ככל שאינדקס הפאזה גבוה יותר כך הפאזה צריכה לפגר אחרי הפאזות הנמוכות יותר (S מפגר אחרי R ו-T מפגר אחרי S ו-R), ולכן צריך היה לשים סימן מינוס בזוויות המופע בסוגריים, אך זה לא משנה במקרה זה כיוון שאנו מחשבים רק את גודל הווקטור ולכן אין התחשבות בסימן.

נחסר את ה-X'ים ואת ה-Y'ים ונקבל:

[math]\Delta Y=Y_1-Y_5=10.715-25.869=-15.153[/math]

[math]\Delta X=X_1-X_5=25.869-(-10.715)=36.584[/math]

ועכשיו נותר לחשב את הגודל של הערך החדש ביחס לנקודת האפס אשר נסמנו באות r מלשון רדיוס המעגל של הדיאגרמה הפאזורית:

[math]r=\sqrt{\Delta X^2+\Delta Y^2}=\sqrt{(-15.153)^2+36.584^2}[/math]

וקיבלנו את המתח-הפאזורי:

[math]r=39.6\,V[/math]

2.5 תשובה לסיכום מדידות חשמליות

ערך חשמלי מספר מכשיר שם מכשיר הסבר מכשירים
גורם הספק 1 זווית הפרש-מופע התשובה מד-הספק (הדיגיטלי) גם מתאימה אך לא נוכל לענות על השאלה הספק פעיל (P), כמו-כן התשובה מד-זוית (מספר 6 ברשימה) אינה מתאימה כיוון שזהו מכשיר למדידת זוויות אמיתיות ולא הפרשי זוויות חשמליות.
  1. זווית הפרש-מופע
  2. זרם x מתח
  3. טכומטר
  4. מד-הספק
  5. מד-התנגדות
  6. מד-זוית
  7. מד-זרם
  8. מד-מתח
  9. מדידות-עקיפות
  10. מונה-גייגר
  11. פדומטר
  12. משפט-פיתגורס
  13. רב-מודד
  14. שתי-נורות וקבל
הספק מדומה 2 זרם x מתח התשובה משפט-פיתגורס גם מתאימה אך לא נוכל לענות על השאלה הספק עיוור (Q).
הספק עיוור 12 משפט-פיתגורס מודדים את ההספק מדומה (S) ואת ההספק פעיל (P) ובעזרת משולש-ההספקים משתמשים במשפט-פיתגורס כדי לחלץ את ההספק עיוור (Q), התשובה מדידות-עקיפות גם מתאימה אך לא נוכל לענות על השאלה השראות.
הספק פעיל 4 מד-הספק זרם x מתח נותן את ההספק פעיל (P) אך ורק אם אין הפרש מופע (P=S) ולכן זוהי אינה תשובה מתאימה.
השראות 9 מדידות-עקיפות קיימים מכשירים למדידת השראות, אך הם לא קיימים ברשימה בשאלה ואינם קיימים במעבדה.
התנגדות 5 מד-התנגדות התשובה רב-מודד גם מתאימה אך לא נוכל לענות על השאלה קיבול, כמו-כן גם התשובה מדידות-עקיפות מתאימה (באמצעות מדידת מתח וזרם והחלוקה ביניהם) אך לא נוכל לענות על השאלה השראות.
זרם 7 מד-זרם התשובה רב-מודד גם מתאימה אך לא נוכל לענות על השאלה קיבול.
מתח 8 מד-מתח התשובה רב-מודד גם מתאימה אך לא נוכל לענות על השאלה קיבול.
סדר פאזות נכון 14 שתי-נורות וקבל זהו המכשיר אותו ניתחנו בדו"ח מכין 6.
קיבול 13 רב-מודד הרב-מודד של Agilent מסוגל למדוד גם קיבול.

2.6 תשובה למדידת התנגדות והשראות של סליל נתון

בשאלה נתון שזהו מעגל טורי של סליל ונגד, אנו יודעים שסליל הוא קצר במתח-ישר כיוון שהתדר של מתח-ישר הוא אפס ולכן עכבת הסליל (האידיאלי) מתאפסת במקרה זה:

[math]Z_L=j\omega L=j2\pi fL=j2\pi\cdot0\cdot L=0\,\Omega[/math]

כלומר הסליל יחשב כמו קצר ולכן זהו למעשה מעגל שיש בו רק נגד R המחובר למקור מתח-ישר, כלומר ניתן לחשב את ההתנגדות R:

[math]R=\frac{V}{I}=\frac{7}{9}=0.778[/math]

עכשיו נותר לחשב את ערכו של הסליל בהתאם לנוסחא שפותחה בדו"ח מכין 6:

[math]L=\frac{R}{\sqrt3\cdot2\pi f}=\frac{0.778}{\sqrt3\cdot2\pi\cdot6853}=0.0000104288\,H[/math]

ואם נרצה להשתמש בקידומת מתאימה (רצוי קידומות בקפיצות של 3 בערכים כאלו) נכפיל פי מיליון מיקרו (שזה בעצם להכפיל פי 1) ונקבל:

[math]L=10.429\,\mu H[/math]

2.7 תשובה לתיקון מקדם-הספק

אם נתייחס למשולש ההספקים כפי שרואים באיור 5 נוכל לראות שכל מאפיין שנשנה במעגל ישפיע על מקדם-ההספק, נגד ישפיע על P, וקבל ותדר ישפיעו על Q ו-S.

2.7.1 תוספת נגד

אם נוסיף נגד בטור לנגד הקיים, נגדיל את ההספק-הפעיל (P) ובכך נרחיב את המשולש ולכן נשנה את מקדם-ההספק.

אנו יודעים שמקדם ההספק תלוי בזווית, וכדי לשלוף את הזווית בצורה טריגונומטרית ניקח את היחס בין ההספק-העיוור (Q) וההספק-הפעיל (P):

[math]tg\varphi=\frac{Q}{P}=\frac{I^2\cdot |Z_L|}{I^2\cdot |Z_R|}=\frac{|Z_L|}{|Z_R|}=\frac{\omega L}{R+R_{NEW}}=\frac{2\pi fL}{R+R_{NEW}}[/math]

בנוסף נתון מקדם-ההספק הרצוי ולכן ניתן לחשב ממנו את הזווית φ:

[math]\varphi=cos^{-1}PF[/math]

נציב במשוואה:

[math]\frac{2\pi fL}{R+R_{NEW}}=tg(cos^{-1}PF)[/math]

נעביר את RNEW לאגף ימין:

[math]\frac{2\pi fL}{tg(cos^{-1}PF)}=R+R_{NEW}[/math]

נבודד את RNEW:

[math]\frac{2\pi fL}{tg(cos^{-1}PF)}-R=R_{NEW}[/math]

ונקבל את הנגד לתיקון מקדם-ההספק:

[math]R_{NEW}=\frac{2\pi\cdot12600\cdot126}{tg(cos^{-1}0.126)}-1260=1.26\,M\Omega[/math]

2.7.2 תוספת קבל

את החישוב של קבל לתיקון מקדם-הספק פיתחנו בדו"ח מכין 6 ולכן רק ניקח משם את הנוסחא:

[math]C=\frac{sin\varphi\pm cos\varphi\cdot tg\beta}{|Z|\cdot2\pi f}[/math]

אנו יודעים ש-β זוהי הזווית הרצויה, φ זוהי הזווית המקורית, ואת העכבה ניתן לחשב מרכיבי המעגל:

[math]\beta=cos^{-1}PF[/math]

[math]\varphi=tg^{-1}\frac{|Z_L|}{|Z_R|}=tg^{-1}\frac{2\pi fL}{R}[/math]

[math]|Z|=|Z_L+Z_R|=|j\omega L+R|=\sqrt{(\omega L)^2+R^2}[/math]

נציב בנוסחא ונקבל:

[math]C=\frac{sin(tg^{-1}\frac{2\pi fL}{R})\pm cos(tg^{-1}\frac{2\pi fL}{R})\cdot tg(cos^{-1}PF)}{\sqrt{(\omega L)^2+R^2}\cdot2\pi f}[/math]

נציב את הערכים הנתונים בשאלה:

[math]C=\frac{sin(atan\frac{2\pi\cdot12600\cdot126}{1260})-cos(atan\frac{2\pi\cdot12600\cdot126}{1260})\cdot tg(cos^{-1}0.126)}{\sqrt{(2\pi\cdot12600\cdot126)^2+1260^2}\cdot2\pi 12600}[/math]

ונקבל את הקבל לתיקון מקדם-ההספק:

[math]C=1.26\,pF[/math]

2.7.3 שינוי תדר

שוב כפי שעשינו עם הנגד, נחשב את יחס ההספק העיוור והפעיל:

[math]tg\varphi=\frac{Q}{P}=\frac{I^2\cdot |Z_L|}{I^2\cdot |Z_R|}=\frac{|Z_L|}{|Z_R|}=\frac{\omega L}{R}=\frac{2\pi fL}{R}[/math]

בעזרת הנתון של מקדם-ההספק הרצוי ניתן לחשב את הזווית φ:

[math]\varphi=cos^{-1}PF[/math]

נציב במשוואה:

[math]\frac{2\pi fL}{R}=tg(cos^{-1}PF)[/math]

נכפיל ב-R:

[math]2\pi fL=R\cdot tg(cos^{-1}PF)[/math]

ונחלץ את התדר:

[math]f=\frac{R\cdot tg(cos^{-1}PF)}{2\pi L}[/math]

נציב ערכים:

[math]f=\frac{1260\cdot tg(cos^{-1}0.126)}{2\pi126}[/math]

ונקבל את התדר לשינוי מקדם-ההספק לערך הרצוי:

[math]f=12.6\,Hz\approx4\pi\,Hz[/math]

2.8 תשובה לסוגי חיבורים במערכת תלת-פאזית

איור 6: התמרת כוכב משולש. הנגדים הצבועים מסמלים חיבור משולש והנגדים הפנימיים מסמלים חיבור כוכב.
איור 7: דוגמא לחיבור משולש מדו"ח מכין 6
איור 8: דוגמא לחיבור כוכב מדו"ח מכין 6

2.8.1 איך הם נקראים?

כפי שרואים באיור 6, שני החיבורים הם:

  1. הנגדים הצבועים, בצורה מלבנית, אשר נמצאים בהיקף, ומצויינים ע"י Z עם אות לטינית: A,B,C מחוברים בצורת משולש ולכן חיבור זה נקרא חיבור משולש. שמות נוספים:
    • רשת משולש.
    • חיבור Δ כמו הצורה של האות היוונית דלתא כפי שרואים באיור 7. בלועזית נקרא Δ network.
    • חיבור Π - במידה ומיישרים את הנגדים נוכל ליצור את האות היוונית פאי עם שמירה על המאפיינים החשמליים.
  2. הנגדים השחורים, בצורת זיגזג, אשר נמצאים בפנים, ומצויינים ע"י Z עם מספר: 1,2,3 מחוברים בצורת כוכב ולכן חיבור זה נקרא חיבור כוכב. שמות נוספים:
    • רשת כוכב.
    • חיבור Y כמו הצורה של האות הלטינית כפי שרואים באיור 8. בלועזית נקרא Y network.
    • חיבור T - במידה ומיישרים את הנגדים נוכל ליצור את האות הזו עם שמירה על המאפיינים החשמליים.

2.8.2 באיזה אות מסמנים אותם?

  1. חיבור משולש מסמנים בדר"כ באות דלתא - Δ אך ניתן לסמן גם באות פאי - Π.
  2. חיבור כוכב מסמנים בדר"כ באות Y אך ניתן לסמן גם באות T.

2.8.3 כמה חוטים מתחברים לכל חיבור?

  1. בחיבור משולש, כפי שרואים באיור 7, יש רק שלוש נקודות חיבור לכן ניתן לחבר רק שלושה חוטים.
  2. בחיבור כוכב, כפי שרואים באיור 8, יש גם את הצומת באמצע, כלומר ניתן לחבר 4 חוטים.

2.8.4 אם מתח הרשת הוא 30V מה יהיה המתח על כל רכיב בהנחה שהעכבות זהות?

  1. בחיבור משולש אנו מקבלים את המתח בין שני קווים שונים, כלומר על כל פאזה (רכיב) נקבל: [math]V_{phase}=|V\angle\varphi-V\angle(\varphi\pm120^\circ)|=\sqrt3V=\sqrt3\cdot30=51.96\,V[/math], ולכן [math]V_{Z_A}=V_{Z_B}=V_{Z_C}=51.96\,V[/math]
  2. בחיבור כוכב, כיוון שהרשת מאוזנת - בנקודת הצומת הפוטנציאל הוא 0V, ולכן המתח על כל רכיב הוא מתח הרשת: [math]V_{phase}=|V\angle\varphi|=V=30\,V[/math] ולכן [math]V_{Z_1}=V_{Z_2}=V_{Z_3}=30\,V[/math]

2.8.5 מה הזרם על כל רכיב בשני החיבורים במידה וכל עכבה היא 60Ω?

אם נתייחס למתח מהסעיף הקודם, נקבל את הזרם:

  1. בחיבור משולש, באמצעות חוק-אוהם, כאשר חישבנו בסעיף הקודם את המתח, נקבל [math]I_A=I_B=I_C=\frac{\sqrt3\cdot V}{R}=\frac{\sqrt3\cdot30}{60}=\frac{\sqrt3}{2}=0.866\,A[/math]
  2. בחיבור כוכב, בהתאם למתח מהסעיף הקודם ובאמצעות חוק-אוהם הזרם הוא [math]I_1=I_2=I_3=\frac{V}{R}=\frac{30}{60}=0.5\,A[/math]

2.8.6 מה ההספק על כל רכיב בכל אחד מהחיבורים?

  1. בחיבור משולש, באמצעות נוסחת ההספק: [math]P_A=P_B=P_C=V\cdot I=\frac{V^2}{R}=\frac{(\sqrt3\cdot30)^2}{60}=45\,Watt[/math]
  2. בחיבור כוכב, באמצעות נוסחת ההספק: [math]P_1=P_2=P_3=V\cdot I=\frac{V^2}{R}=\frac{30^2}{60}=15\,Watt[/math]

2.8.7 מהו ההספק הכללי בכל אחד מהחיבורים?

  1. בחיבור משולש, ישנם שלושה צרכנים, לכן ההספק הוא פי 3 מההספק על כל רכיב, ולכן [math]P_\Delta=P_{TOTAL}=3\cdot P_A=3\cdot45=135\,Watt[/math]
  2. בחיבור כוכב, גם ישנם שלושה צרכנים, ולכן שוב ההספק הוא פי 3 מההספק על כל רכיב, ולכן [math]P_Y=P_{TOTAL}=3\cdot P_1=3\cdot15=45\,Watt[/math]
  • הערה: בחיבור משולש קיבלנו עבור אותם הצרכנים הספק גדול פי 3, כיוון שגם המתח וגם הזרם גדולים פי שורש 3 בחיבור משולש - הבהרה נוספת בנושא תינתן בסעיף הבא.

2.8.8 שאלת בונוס: מה הזרם המסופק מכל אחד משלושת מקורות-הכוח?

איור 9: התמרת כוכב-משולש עם ערכים
  1. הפעם נתחיל עם חיבור כוכב כיוון שהוא פשוט יותר, הזרם היוצא ממקור-הכוח זהה לזרם על כל פאזה כיוון שבנקודת הצומת הפוטנציאל הוא אפס (V0=0V) ולכן ניתן לחשב את הזרמים פשוט עפ"י חוק-אוהם ולראות שזהו חישוב טריוויאלי: [math]I_R=I_S=I_T=\frac{V_{R,S,T}-V_0}{R}=\frac{30-0}{60}=0.5\,A[/math]
  2. בחיבור משולש קצת קשה לעשות חישובים עקב החיבור המיוחד בזמן שבחיבור כוכב יותר נוח לחשב את הזרמים והמתחים כיוון שיש את נקודת הצומת המרכזי אשר הפוטנציאל בו הוא אפס במערכת מאוזנת ולכן מקל על החישובים, עקב כך נעשה המרה של חיבור המשולש לכוכב ע"י שיטת התמרת כוכב משולש אשר מגדירה את העכבות מחדש בהתאם לסימונים אשר באיור 6:

[math]Z_1=\frac{Z_B\cdot Z_C}{Z_A+Z_B+Z_C}=\frac{R\cdot R}{R+R+R}=\frac{R^2}{3R}=\frac{R}{3}=\frac{60}{3}=20\,\Omega[/math]
[math]Z_2=\frac{Z_A\cdot Z_C}{Z_A+Z_B+Z_C}=20\,\Omega[/math]
[math]Z_3=\frac{Z_A\cdot Z_B}{Z_A+Z_B+Z_C}=20\,\Omega[/math]
כלומר בעת התמרת משולש לכוכב מקבלים שכל ההתנגדויות של אותם הצרכנים הן למעשה קטנות פי 3 כפי שרואים באיור 9 וכיוון שמתח-המקור זהה לעומת חיבור הכוכב הקודם (עם התנגדויות של 60Ω) קיבלנו הספק פי 3 גבוה יותר. וכדי לענות על השאלה, נקבל שהזרם היוצא ממקור-הכוח הוא [math]I_R=I_S=I_T=\frac{V_{R,S,T}-V_0}{R}=\frac{30-0}{20}=1.5\,A[/math], וקיבלנו שהזרם (של מקור הכוח ולא של הצרכנים) הוא פי 3 גדול יותר בחיבור משולש מאשר בחיבור כוכב של אותם הצרכנים.

2.9 תשובה למקדם-הספק של מערכת ממותגת

מתח סינוסי יעיל (RMS) של 1 וולט מנוסח באופן הבא:

[math]v(t)=1\cdot\sqrt2\cdot sin(2\pi f\cdot t)[/math]

זרם ריבועי יעיל (RMS) של 1 וולט מנוסח באופן הבא:

[math] i(t)= \begin{cases} 1, & frac(f\cdot t) \lt 0.5 \\[2ex] -1, & frac(f\cdot t) \gt 0.5 \\[2ex] \end{cases} [/math]

כאשר frac זהו החלק העשרוני (אחרי הנקודה) ללא החלק השלם, כלומר בחצי-מחזור הראשון הוא קטן מחצי ובחצי-מחזור השני הוא גדול מחצי.

כיוון שהפרש המופע בין שני האותות הוא אפס, כלומר φ=0, זה אומר שהסימן של שני הגלים (המתח והזרם) הוא תמיד זהה (בניגוד למקרים בהם הזווית שונה מאפס) ולכן מכפלת האותות תמיד תיתן ערך חיובי.

כדי לחשב את מקדם-הספק נמצא את היחס בין ההספק-הפעיל וההספק המדומה:

[math]PF=\frac{P}{S}[/math]

את ההספק-המדומה ניתן לחשב בקלות ע"י מכפלת ערך ה-RMS של שני האותות (שזה נתון כבר בשאלה):

[math]S=V\cdot I=1\cdot1=1\,VA[/math]

קיבלנו שההספק המדומה הוא 1 וולט-אמפר.

כדי לחשב את ההספק-הפעיל נשתמש בהגדרה של ההספק הממוצע:

[math]P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} p(t) dt[/math]

נציב את נוסחת ההספק p=vi:

[math]P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v(t)\cdot i(t) dt[/math]

נציב את צורות הגלים הנתונות בשאלה:

[math]P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \sqrt2\cdot sin(2\pi f\cdot t)\cdot \begin{cases} 1, & frac(f\cdot t) \lt 0.5 \\[2ex] -1, & frac(f\cdot t) \gt 0.5 \\[2ex] \end{cases} dt[/math]

נפצל את האינטגרל לשני חלקים - חצי המחזור הראשון וחצי המחזור השני:

[math]P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T/2} \sqrt2\cdot sin(2\pi f\cdot t)\cdot1dt+\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T} \sqrt2\cdot sin(2\pi f\cdot t)\cdot(-1)dt[/math]

נפתור את האינטגרל (החצי השני שלילי כי כפלנו במינוס אחד):

[math]P=\frac{1}{T}\sqrt2\cdot \frac{-cos(2\pi f\cdot t)}{2\pi f}\Bigg|_{0}^{T/2}-\frac{1}{T}\sqrt2\cdot \frac{-cos(2\pi f\cdot t)}{2\pi f}\Bigg|_{T/2}^{T}[/math]

נעשה מכנה משותף ונחליף צד לשני החצאים (כדי שהגורם החיובי יהיה ראשון):

[math]P=\frac{\sqrt2}{T\cdot 2\pi f}\cdot\Bigg( cos(2\pi f\cdot t)\Bigg|_{T/2}^{T}-cos(2\pi f\cdot t)\Bigg|_{0}^{T/2}\Bigg)[/math]

נציב את גבולות האינטגרציה:

[math]P=\frac{\sqrt2}{T\cdot 2\pi f}\cdot\bigg( cos(2\pi f\cdot T) - cos(2\pi f\cdot \frac{T}{2})-\Big(cos(2\pi f\cdot \frac{T}{2}) - cos(2\pi f\cdot0)\Big)\bigg)[/math]

אנו יודעים שהתדר f שווה להופכי של המחזור T - נציב ונקבל:

[math]P=\frac{\sqrt2}{T\cdot 2\pi \frac{1}{T}}\cdot\bigg( cos(2\pi \frac{1}{T}\cdot T) - cos(2\pi \frac{1}{T}\cdot \frac{T}{2})-\Big(cos(2\pi \frac{1}{T}\cdot \frac{T}{2}) - cos(2\pi \frac{1}{T}\cdot0)\Big)\bigg)[/math]

נצמצם את כל המכפלות:

[math]P=\frac{\sqrt2}{2\pi}\cdot\bigg( cos(2\pi) - cos(\frac{2\pi}{2})-\Big(cos(\frac{2\pi}{2}) - cos(0)\Big)\bigg)[/math]

נציב ערכים בכל הקוסינוסים:

[math]P=\frac{\sqrt2}{2\pi}\cdot\Big( 1 - (-1) - \big(-1 - 1\big)\Big)=\frac{\sqrt2}{2\pi}\cdot\big(1+1-(-2)\big)=\frac{\sqrt2}{2\pi}\cdot(2+2)=\frac{4\sqrt2}{2\pi}[/math]

נצמצם את המונה והמכנה פי שתיים ונקבל:

[math]P=\frac{2\sqrt2}{\pi} \approx 0.9\,Watt[/math]

הערה: ההספק הזה זהה להרמוניה הראשונה של גל ריבועי כפי שמצאנו בסעיף ייצוג ספקטראלי של ניסוי 1ב'.

כלומר המקדם-הספק הוא:

[math]PF=\frac{P}{S}=\frac{0.9\,Watt}{1\,VA}=0.9[/math]

וקיבלנו מקדם-הספק קטן מ-1 למרות שאין הפרש-מופע בין המתח לזרם !! כלומר ההגדרה המוסכמת (PF=cosφ) אינה תקפה יותר למערכות ההספק של היום אלא מתאימה יותר למערכות בעלות אותות סינוסואידליים.[1]

2.10 תשובה לחישוב פאזורי בהתאם לגרף

בדיאגרמה באיור 3 תמיד צריך להיות 360 מעלות.

אם סופרים את כמות החצים רואים שהיא 11.

כלומר ההפרש בין כל פאזה הוא [math]\varphi=\frac{360^\circ}{11}[/math]

כדי לא להסתבך עם החישובים, נסובב את המערכת ימינה, כך שהפאזה הראשונה (בגודל 10) תהיה ממש על הציר האופקי, ולכן הציר האנכי שלה יהיה מאופס, ונסמן את הקואורדינטות של הפאזה הראשונה:

[math]\varphi_1=0^\circ[/math]

[math]X_1=V_1\cdot cos(\varphi_1)=V_1\cdot cos(0)=V_1[/math]

[math]Y_1=V_1\cdot sin(\varphi_1)=V_1\cdot sin(0)=0[/math]

את הפאזה השנייה (בגודל 13) גם נזיז ימינה באותה הכמות, אך ההפרש במעלות עדיין יישמר. אנו רואים שהפאזה השנייה מוזזת 4 פעמים ביחס לפאזה הראשונה (בגודל 10), כלומר הפרש המופע בין שתי הפאזות הוא:

[math]d\varphi=\varphi_2-\varphi_1=\varphi_2-0=\varphi_2=4\cdot\varphi=4\cdot\frac{360^\circ}{11}[/math]

ועכשיו נחשב את הקואורדינטות של הפאזור השני:

[math]\varphi_2=d\varphi=130.91^\circ[/math]

[math]X_2=V_2\cdot cos(\varphi_2)[/math]

[math]Y_2=V_2\cdot sin(\varphi_2)[/math]

ועכשיו כדי לחשב את ההפרש הפאזורי, צריך לחסר כל קוארדינטה לחוד, ואז לחשב את הגודל:

[math]V=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\left(X_2-X_1\right)^2+\left(Y_2-Y_1\right)^2}[/math]

נציב את הערכים שמצאנו:

[math]V=\sqrt{\left(V_2\cdot cos(\varphi_2)-V_1\right)^2+\left(V_2\cdot sin(\varphi_2)-0\right)^2}[/math]

נפתח את הסוגריים:

[math]V=\sqrt{V_2^2\cdot cos^2(\varphi_2)-2\cdot V_2\cdot V_1\cdot cos(\varphi_2)+V_1^2+V_2^2\cdot sin^2(\varphi_2)}[/math]

נכנס את V2 ונקבל:

[math]V=\sqrt{V_2^2\left(cos^2(\varphi_2)+sin^2(\varphi_2)\right)-2 V_1 V_2\cdot cos(\varphi_2)+V_1^2}[/math]

נצמצם את הסוגריים בהתאם לזהות הטריגונומטרית הפיתגוראית:

[math]V=\sqrt{V_2^2\left(1\right)-2 V_1 V_2\cdot cos(\varphi_2)+V_1^2}[/math]

ונקבל:

[math]V=\sqrt{V_2^2-2 V_1 V_2\cdot cos(\varphi_2)+V_1^2}[/math]

נציב את הערכים:

[math]V=\sqrt{13^2-2\cdot 10\cdot 13 \cdot cos\left(4\cdot \frac{360^\circ}{11}\right)+10^2}[/math]

ונקבל את התשובה (מספיק 3 ספרות משמעותיות):

[math]20.9\,V[/math]


2.11 תשובה לחישוב פאזורי - מציאת V0

באיור 4 רואים מערכת כוכב, כאשר V0 הינו הפוטנציאל בדיוק במרכז הכוכב.

המערכת אינה מאוזנת אם לא כל העומסים זהים.

לו המערכת כן הייתה מאוזנת (כל העומסים זהים) - הערך של V0 הוא אפס, ולכן ניתן לוותר על כבל הניוטרל כיוון שגם כך הפוטנציאל בו הוא אפס ולכן הוא לא מוליך זרם.

אך במקרה הזה יש לנו שלושה עומסים (L מלשון Load) שונים:

[math]L_R=400\,\Omega[/math]

[math]L_S=500\,\Omega[/math]

[math]L_T=700\,\Omega[/math]

ישנן שתי דרכים לפתור שאלה זו:

2.11.1 הדרך האיטית - האנליטית

עשינו זאת בדו"ח המכין, בשאלת סדר פאזות.

לכן, לא אחזור כאן על אותה השיטה.

2.11.2 הדרך המהירה - באמצעות מחשבון

כיוון שסך הזרמים הנכנסים לצומת ויוצאים ממנו הוא אפס, נפתור את המשוואה הבאה:

[math]I_R+I_S+I_T=0[/math]

זוהי מערכת רב-פאזית, לכן המתח זהה לכל הפאזות, והזרם על כל פאזה הוא:

[math]I_X=\frac{V\cdot e^{j\varphi_X}-V_0}{L_X}[/math]

כיוון שיש שלוש פאזות, ההפרש בין כל פאזה במעלות הוא:

[math]d\varphi=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ[/math]

או ברדיאנים:

[math]d\varphi=\frac{2\pi}{3}[/math]

נציב את ערכי הזרמים בנוסחא:

[math]\frac{V\cdot e^{j0}-V_0}{L_R}+\frac{V\cdot e^{\frac{-2j\pi}{3}}-V_0}{L_S}+\frac{V\cdot e^{\frac{2j\pi}{3}}-V_0}{L_T}=0[/math]

לשים לב שפאזה S היא -120° ואילו פאזה T היא או -240° או +120° (זה שווה ערך בגלל שמחזור הוא 360°).

נתון בשאלה:

[math]V=32\,V[/math]

נציב ערכים:

[math]\frac{32-V_0}{400}+\frac{32\cdot e^{\frac{-2j\pi}{3}}-V_0}{500}+\frac{32\cdot e^{\frac{2j\pi}{3}}-V_0}{700}=0[/math]

באתר וולפראם-אלפא ניתן לרשום:

(32-X)/400+(32*exp(-2*i*pi/3)-X)/500+(32*exp(2*i*pi/3)-X)/700=0, abs(X)=?

ולקבל את התוצאה:

[math]V_0=\frac{416}{83}=5.012\,V[/math]

במחשבוני 'Casio' מעודכנים, יש את הפונקציה Solve, אך היא אינה יכולה לפתור מספרים מרוכבים, ולכן נצטרך קצת לסדר את המשוואה. במחשבונים ישנים כמו fx-82MS ניתן להשתמש בתקלה של גלישת-חוצץ כדי לפתוח את האופציות המתקדמות לפתרון משוואות ומספרים מרוכבים כפי שמודגם בקישור Casio fx-82MS to fx-570MS (לשים לב שהכפתורים משתנים בהתאם למחשבון 570 ולכן צריך להסתכל על התמונה שלו כדי לדעת היכן כל כפתור נמצא).

תחילה ניפטר מכל המאות במכנה (בשאלה זו תמיד ההתנגדויות הן בכפולות של 100), ולכן נכפול פי 100 ונקבל:

משוואה 1: [math]\frac{32-V_0}{4}+\frac{32\cdot e^{\frac{-2j\pi}{3}}-V_0}{5}+\frac{32\cdot e^{\frac{2j\pi}{3}}-V_0}{7}=0\,[/math]

נעביר את הנעלם לאגף ימין:

[math]\frac{32}{4}+\frac{32\cdot e^{\frac{-2j\pi}{3}}}{5}+\frac{32\cdot e^{\frac{2j\pi}{3}}}{7}=\frac{V_0}{4}+\frac{V_0}{5}+\frac{V_0}{7}[/math]

נעשה מכנה משותף לצד ימין בלבד של 4*5*7, ניתן לעשות זאת פשוט ע"י המחשבון:

[math]1\div4+1\div5+1\div7=\frac{83}{140}[/math]

או לחשב ידנית:

[math]\frac{32}{4}+\frac{32\cdot e^{\frac{-2j\pi}{3}}}{5}+\frac{32\cdot e^{\frac{2j\pi}{3}}}{7}=\frac{5\cdot 7\cdot V_0+4\cdot 7\cdot V_0+4\cdot 5\cdot V_0}{4\cdot5\cdot7}[/math]

נסדר קצת:

[math]32\cdot\left(\frac{1}{4}+\frac{e^{\frac{-2j\pi}{3}}}{5}+\frac{e^{\frac{2j\pi}{3}}}{7}\right)=\frac{83\cdot V_0}{140}[/math]

נבודד את הנעלם ע"י העברת המקדם שלו לאגף שמאל (חלוקה במקדם של הנעלם):

[math]\frac{140\cdot32}{83}\cdot\left(\frac{1}{4}+\frac{e^{\frac{-2j\pi}{3}}}{5}+\frac{e^{\frac{2j\pi}{3}}}{7}\right)=V_0[/math]

את זה כבר אפשר להכניס למחשבון באמצעות הקלדת הסימנים הבאים (ודאו רק שאתם במצב של מספרים מרוכבים - Complex ובמצב של מעלות - Degrees):

[math]\left|140\times32\div83\times\left(1\div4+1\angle-120\div5+1\angle120\div7\right)\right|[/math]

ותתקבל התשובה, בהנחה שלא שכחתם את הערך המוחלט. כמו-כן צריך ללחוץ על מקש S⇔D כדי להמיר אותה למספר עשרוני:

[math]V_0=\frac{416}{83}=5.012\,V[/math]

2.11.3 הדרך המהירה - באמצעות מחשבון - המשך אנליטי

בכל מקרה, אם הסתבכתם עם כל האופציות הנ"ל, ניתן פשוט להמשיך בדרך האנליטית, ניקח את משוואה 1 ונעשה מכנה משותף של 4*5*7:

[math]\frac{5\cdot7\cdot32-5\cdot7\cdot V_0+4\cdot7\cdot32\cdot e^{\frac{-2j\pi}{3}}-4\cdot7\cdot V_0+4\cdot5\cdot32\cdot e^{\frac{2j\pi}{3}}-4\cdot5\cdot V_0}{4\cdot5\cdot7}=0[/math]

ניתן לצמצם את המכנה לחלוטין כיוון שרק המונה יכול לאפס את המשוואה:

[math]1120-35\cdot V_0+896\cdot e^{\frac{-2j\pi}{3}}-28\cdot V_0+640\cdot e^{\frac{2j\pi}{3}}-20\cdot V_0=0[/math]

נפרק את האקספוננט בהתאם ל-cis, ונעביר אגף את כל ה-V0:

[math]1120+896\cdot cos\left(\frac{-2\pi}{3}\right)+j896\cdot sin\left(\frac{-2\pi}{3}\right)+640\cdot cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+j640\cdot sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=83\cdot V_0[/math]

לפי מעגל היחידה (או המחשבון) מציבים את הערכים של הפונקציות הטריגונומטריות:

[math]1120+896\cdot\frac{-1}{2}+j896\cdot\frac{-\sqrt3}{2}+640\cdot\frac{-1}{2}+j640\cdot \frac{\sqrt3}{2}=83\cdot V_0[/math]

נפריד ערכים מדומים וממשיים לחוד:

[math]1120-\frac{896}{2}-\frac{640}{2}+j\left(-\frac{896\sqrt3}{2}+\frac{640\sqrt3}{2}\right)=83\cdot V_0[/math]

נחבר את כל הממשיים והמדומים לחוד, ונחלק ב-83:

[math]V_0=\frac{1}{83}\left(352-j128\sqrt3\right)[/math]

נשלוף את הגודל:

[math]V_0=\frac{1}{83}\cdot\sqrt{352^2+128^2\cdot3}=\frac{\sqrt{173056}}{83}[/math]

ונקבל את הפוטנציאל בנקודת החיבור של הכוכב:

[math]V_0=\frac{416}{83}=5.012\,V[/math]

מה אומרת התוצאה הזאת? שהפוטנציאל בנקודת החיבור הוא בערך 5V, כלומר אם יהיה נגד של 5KΩ בין חיבור הכוכב לניוטרל - הזרם בקו-הניוטרל יהיה בערך 1mA


  1. R.P. Deshpande, Capacitors, McGraw Hill, 2014, Chapter 9.1